不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$\int \frac{1}{\sqrt{x + 2} - \sqrt{x - 2}} d x$ $\int \frac{1}{\sqrt{x + 2} - \sqrt{x - 2}} d x$ 　

■答

$\frac{1}{6} {(x + 2) \sqrt{x + 2} + (x - 2) \sqrt{x - 2}} + C$ $\frac{1}{6} {(x + 2) \sqrt{x + 2} + (x - 2) \sqrt{x - 2}} + C$ 　　（ $C$ $C$ は積分定数）

■解説

与式 $= \int \frac{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 2}}{x + 2 - (x - 2)} d x$ $= \int \frac{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 2}}{x + 2 - (x - 2)} d x$ 　

$= \frac{1}{4} \int (\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 2}) d x$ $= \frac{1}{4} \int (\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 2}) d x$ 　

$= \frac{1}{4} {\frac{2}{3} {(x + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}} + C$ $= \frac{1}{4} {\frac{2}{3} {(x + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}} + C$ 　

$= \frac{1}{6} {(x + 2) \sqrt{x + 2} + (x - 2) \sqrt{x - 2}} + C$ $= \frac{1}{6} {(x + 2) \sqrt{x + 2} + (x - 2) \sqrt{x - 2}} + C$ 　

（ $C$ $C$ は積分定数）

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日