問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{x^2-1}dx}}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{2}\log \left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

・有理関数の場合，部分分数に分解できるならば，部分分数に分解する．

・基本となる関数の積分 より

${\displaystyle \int \frac{1}{x}dx=log\left|x\right|+C}$　（$C$は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

部分分数に分解する公式

${\displaystyle \frac{1}{x^2-a^2}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2a}\left(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a}\right)}$

を用いると

${\displaystyle \frac{1}{x^2-1}}$${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)}$　･･････(2)

となる．よって

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)dx}}$ 　

（与式に(2)を代入した）

(${\displaystyle \frac{1}{2}}$ を先頭に出せるわけ，および，分数をそれぞれ積分できる理由は，不定積分の基本式を参照)

（(1)の公式を用いた）

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C}$　（$C$は積分定数） 　　

（対数計算の基本 を用いて式の変形を行う）

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日

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