問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int 5^x}dx}$  

■答

${\displaystyle \frac{5^x}{\log 5}+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int e^x}dx=e^x+C}$　　（$C$は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

指数関数の底を${\displaystyle e}$ に変換する．指数関数の底の変換の仕方より

${\displaystyle x=a^{{\log }_{a}x}}$　･･････(2)

(2)の $x$を${\displaystyle 5^x}$ ，$a$を$e$ に入れ換えた

${\displaystyle 5^x=e^{x\log 5}}$　･･････(3)

(3)を与式に代入する．

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int e^{x\log 5}}dx}$

${\displaystyle =\frac{1}{\log 5}{e}^{x\log 5}+C}$　　（$C$は積分定数）

(基本となる関数の積分より)

${\displaystyle =\frac{5^x}{\log 5}+C}$

(${\displaystyle e^{x\log 5}=5^x}$ の関係を使って，指数関数の底を$5$ に戻した)

　

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最終更新日： 2023年11月24日

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