問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{x^3+x+1}{x^2+1}}dx}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{2}{x}^2+{\tan }^{-1}\theta +C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

分子の次数を分母の次数より下げる．

基本となる関数の積分 より

${\displaystyle \int xdx=\frac{1}{1+a}{x}^{1+a}+C}$　　（$C$は積分定数）　･･････(1)

${\displaystyle \int \frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}{tan}^{-1}\frac{x}{a}+C}$　･･････(2)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle \frac{x^3+x+1}{x^2+1}}$ ${\displaystyle =\frac{x\left(x^2+1\right)+1}{x^2+1}}$ ${\displaystyle =\frac{x\left(x^2+1\right)}{x^2+1}+\frac{1}{x^2+1}}$${\displaystyle =x+\frac{1}{x^2+1}}$

と考える．

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int \left(x+\frac{1}{x^2+1}\right)}dx}$ 　

${\displaystyle ={\displaystyle \int xdx+{\displaystyle \int \frac{1}{x^2+1}dx}}}$ 　　

（不定積分の基本式 を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{1}{\tan }^{-1}\frac{x}{1}+C}$ 　　

（ヒントの公式(1)，(2)を適用した）

${\displaystyle =\frac{1}{2}{x}^2+{\tan }^{-1}x+C}$

■確認問題

求まった答え　${\displaystyle \frac{1}{2}{x}^2+{\tan }^{-1}x+C}$ 　を微分し，積分前の式 　${\displaystyle \frac{x^3+x+1}{x^2+1}}$ 　に戻ることを確認しなさい．

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2025年3月6日

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