問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \left(12x^5-15x^4\right)dx}}$

■答

${\displaystyle 2x^6-3x^5+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int x^{\alpha }}dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$　　（$C$は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \left(12x^5-15x^4\right)dx}}$

積分の線形性より，与式を以下のように式を変形する

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int 12x^{5}dx}+{\displaystyle \int 15x^{4}dx}}$ ${\displaystyle =12{\displaystyle \int x^{5}dx}+15{\displaystyle \int x^{4}dx}}$

ヒントの(1)より

${\displaystyle =\frac{12}{5+1}{x}^{5+1}-\frac{15}{4+1}{x}^{4+1}+C}$

${\displaystyle =2x^6-3x^5+C}$　　（$C$は積分定数）

　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle 2x^6-3x^5+C}$ を微分し，積分前の式 ${\displaystyle 12x^5-15x^4}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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最終更新日： 2023年11月24日

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