問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{sin}^{7}xdx}$ 　

■ヒント

ウォリス積分

を用いる．

■答

ヒントの公式の ${\displaystyle n}$ に代入する値が${\displaystyle 7}$ （奇数）なので，以下のようになる．

与式${\displaystyle =\frac{6}{7}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{2}{3}\cdot 1}$ ${\displaystyle =\frac{16}{35}}$ 　

●別解

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{7}xdx}}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\left({\sin }^{2}x\right)}^3\sin xdx}}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\left(1-{\cos }^{2}x\right)}^3\sin xdx}}$

${\displaystyle \cos x=t}$ とおく置換積分で解く．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=-\sin x}$ より${\displaystyle \sin xdx=-dt}$

${\displaystyle x:0\to \frac{\pi }{2}}$ のとき${\displaystyle t:1\to 0}$

よって

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_1^0{\left(1-t^2\right)}^3}\left(-dt\right)}$

${\displaystyle =-{\displaystyle {\int }_1^0{\left(1-t^2\right)}^3}dt}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^1{\left(1-t^2\right)}^3}dt}$

3乗の展開公式を利用する．

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^1{\left(1-3t^2+3t^4-t^6\right)}^3}dt}$

${\displaystyle ={\left[t-t^3+\frac{3}{5}{t}^5-\frac{1}{7}{t}^7\right]}_0^1}$

${\displaystyle =1-1+\frac{3}{5}-\frac{1}{7}}$

${\displaystyle =\frac{21-6}{35}}$

${\displaystyle =\frac{16}{35}}$

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2024年7月29日

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