問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\int }_1^3{4}^{x}dx}$ 　

■答

${\displaystyle \frac{30}{log2}}$ 　

■ヒント

定積分の基本式より

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)}$　･･････(1)

基本となる関数の積分の指数／対数の積分より

${\displaystyle \int a^{x}dx=\frac{a^x}{loga}+C}$　　（$C$は積分定数）　･･････(2)

の公式を用いる．

■解説

あらかじめ， ${\displaystyle \int 4^{x}dx}$ 　を求めておく． 　

${\displaystyle \int 4^{x}dx}$${\displaystyle =\frac{4^x}{log4}+C}$ 　

（ヒントの式(2)を適用した）

${\displaystyle =\frac{4^x}{log{2}^2}+C}$ 　

${\displaystyle =\frac{4^x}{2log2}+C}$ 　

（ ${\displaystyle {log}_a{R}^t=t{log}_{a}R}$ を参照）
（これが${\displaystyle 4^x}$ の原始関数である）

よって，定積分の計算式(ヒントの式(2))より

${\displaystyle {\int }_1^3{4}^{x}dx={\left[\frac{4^x}{2log2}\right]}_1^3}$ 　

となる．

${\displaystyle ={\left[\frac{4^x}{2log2}\right]}_1^3}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{2log2}\left(4^3-4^1\right)}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{2log2}\left(64-4\right)}$ 　

${\displaystyle =\frac{60}{2log2}}$ 　

${\displaystyle =\frac{30}{log2}}$ 　

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月23日

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