問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\int }_{\frac{1}{3}}^2{8}^{x}dx}$ 　　

■答

${\displaystyle \frac{62}{3log2}}$  　　

■ヒント

定積分の基本式より

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)}$　･･････(1)

基本となる関数の積分より

${\displaystyle \int a^{x}dx=\frac{a^x}{loga}+C}$　　（$C$は積分定数）　･･････(2)

を用いる．

■解説

あらかじめ ${\displaystyle \int 8^{x}dx}$ を求めておく．

ヒントの式(2)より

${\displaystyle \int 8^{x}dx}$${\displaystyle =\frac{8^x}{log8}+C}$ 　　

${\displaystyle =\frac{2^{3x}}{log{2}^3}+C}$ 　　

（${\displaystyle 8^x=2^{3x}}$ 　（つまり　 ${\displaystyle 8=2^3}$　 ）は累乗を参照）

${\displaystyle =\frac{2^{3x}}{3log2}+C}$ 　　

（ ${\displaystyle log{2}^3=3log2}$ は対数計算の基本を参照．これが ${\displaystyle 8^x}$の原始関数である）

定積分の計算(ヒントの式(1))り

${\displaystyle {\int }_{\frac{1}{3}}^2{8}^{x}dx}$ 　 ${\displaystyle ={\left[\frac{2^{3x}}{3log2}\right]}_{\frac{1}{3}}^2}$ 　 　

となる．

${\displaystyle ={\left[\frac{2^{3x}}{3log2}\right]}_{\frac{1}{3}}^2}$ ${\displaystyle =\frac{1}{3log2}\left(2^{3\cdot 2}-2^{3\cdot \frac{1}{3}}\right)}$${\displaystyle =\frac{1}{3log2}\left(2^6-2^1\right)}$${\displaystyle =\frac{1}{3log2}\left(64-2\right)}$${\displaystyle =\frac{62}{3log2}}$ 　　

　

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最終更新日： 2023年11月24日

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