定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

$\int_{- \frac{π}{4}}^{- \frac{π}{6}} {csc}^{2} (x + \frac{π}{2}) d x$ 　

$= - \frac{1}{\sqrt{3}} + 1$ 　

$\int_{a}^{b} f (x) d x = {[F (x)]}_{a}^{b} = F (b) - F (a)$ 　

$\int {csc}^{2} x d x = - cot x + C$ 　　　　　（ $C$ は積分定数）

を用いる．

あらかじめ， $\int {csc}^{2} (x + \frac{π}{2}) d x$ を求めておく．

$\int {csc}^{2} (x + \frac{π}{2}) d x$ 　

（この積分を参考にするとよい）

$= - cot (x + \frac{π}{2}) + C$ 　

（これが ${csc}^{2} (x + \frac{π}{2})$ の原始関数である）

よって，定積分計算(ヒントの式)より

$\int_{- \frac{π}{4}}^{- \frac{π}{6}} {csc}^{2} (x + \frac{π}{2}) d x$ 　 $= {[- cot (x + \frac{π}{2})]}_{- \frac{π}{4}}^{- \frac{π}{6}}$

となる．

$= - cot (- \frac{π}{6} + \frac{π}{2}) + cot (- \frac{π}{4} + \frac{π}{2})$ 　

$= - cot \frac{π}{3} + cot \frac{π}{4}$ 　

（ $cot x = \frac{1}{tan x}$ である）

$= - \frac{1}{\sqrt{3}} + 1$ 　

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最終更新日： 2024年7月5日