置換積分

■問題

次の計算をせよ（不定積分）．

${\displaystyle {{\displaystyle \int }}_0^1{\left(x\sqrt{1-x^2}\right)}^{3}dx}$

■答

${\displaystyle \frac{2}{35}}$

■ヒント

${\displaystyle \sqrt{1-x^2}=t}$ とおき，${\displaystyle t}$ の式に変換する． （置換積分法）

■解説

${\displaystyle {{\displaystyle \int }}_0^1{\left(x\sqrt{1-x^2}\right)}^{3}dx}$ 　　　･･････(1)

${\displaystyle \sqrt{1-x^2}=t}$ とおく．　　･･････(2)

両辺を２乗して，${\displaystyle 1-x^2=t^2}$

${\displaystyle x^2=1-t^2}$　　　･･････(3)

両辺を${\displaystyle x}$ で微分して，

${\displaystyle 2x=-2t\frac{dt}{dx}}$

よって，${\displaystyle xdx=-tdt}$　　　･･････(4) 　

${\displaystyle x}$の積分範囲より，

${\displaystyle x=0}$のとき，${\displaystyle t=1}$

${\displaystyle x=1}$ のとき，${\displaystyle t=0}$

であるから，${\displaystyle t}$ の積分範囲は，${\displaystyle 1\to 0}$　　　･･････(5)

(1)の式を変形すると，

${\displaystyle {{\displaystyle \int }}_0^1{\left(x\sqrt{1-x^2}\right)}^{3}dx}$

${\displaystyle ={{\displaystyle \int }}_0^1{x}^3\cdot {\left(\sqrt{1-x^2}\right)}^{3}dx}$

${\displaystyle ={{\displaystyle \int }}_0^1{x}^2\cdot {\left(\sqrt{1-x^2}\right)}^3\cdot xdx}$

ここに(2),(3),(4),(5)を代入して，

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_1^0\left(1-t^2\right)\cdot t^3}\cdot \left(-tdt\right)}$

${\displaystyle =-{\displaystyle {\int }_1^0\left(1-t^2\right)\cdot t^4}dt}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^1\left(1-t^2\right)\cdot t^4}dt}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^1\left(t^4-t^6\right)}dt}$

${\displaystyle ={\left[\frac{1}{5}{t}^5-\frac{1}{7}{t}^7\right]}_0^1}$

${\displaystyle =\left(\frac{1}{5}\cdot 1^5-\frac{1}{7}\cdot 1^7\right)}$${\displaystyle -\left(\frac{1}{5}\cdot 0^5-\frac{1}{7}\cdot 0^7\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{5}-\frac{1}{7}}$

${\displaystyle =\frac{2}{35}}$

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最終更新日：2023年11月23日