定積分

■問題

次の計算をせよ（定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_0^1\frac{x^2+1}{x+1}dx}}$

■答

${\displaystyle -\frac{1}{2}+2\log 2}$

■ヒント

分子の次数が分母の次数より小さくなるように式を変形する．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_0^1\frac{x^2+1}{x+1}dx}}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^1\frac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)+2}{x+1}dx}}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^1\left(x-1+\frac{2}{x+1}\right)dx}}$

${\displaystyle ={\left[\frac{1}{2}{x}^2-x+2\log \left|x+1\right|\right]}_0^1}$

${\displaystyle =\left\{\frac{1}{2}\cdot 1^2-1+2\log (1+1)\right\}}$${\displaystyle -\left\{\frac{1}{2}\cdot 0^2-0+2\log (0+1)\right\}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}-1+2\log 2}$

${\displaystyle =-\frac{1}{2}+2\log 2}$

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最終更新日：2024年7月17日