定積分

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_{\frac{1}{4}}^1{16}^{x}dx}}$

■ヒント

定積分の基本式より，定理

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)}$ 　

基本となる関数の積分より，公式

${\displaystyle \int a^{x}dx=\frac{a^x}{loga}+C}$ 　　　　　　（C は積分定数）

を用いる．

■答

${\displaystyle \frac{7}{2\log 2}}$

■解説

まず， ${\displaystyle {\displaystyle \int {16}^{x}dx}}$ を求める．

公式より，

${\displaystyle {\displaystyle \int {16}^{x}dx}}$ ${\displaystyle =\frac{{16}^x}{\log 16}+C}$

${\displaystyle =\frac{2^{4x}}{\log 2^4}+C}$

${\displaystyle =\frac{2^{4x}}{4\log 2}+C}$ 　　

（　${\displaystyle log{2}^4=4log2}$ 　は対数計算の基本を参照）
　　　　　

定積分の定理より，

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_{\frac{1}{4}}^1{16}^x}dx={\left[\frac{2^{4x}}{4\log 2}\right]}_{\frac{1}{4}}^1}$ 　 　 　

が成り立つ．

あとはこれを計算して,

与式${\displaystyle ={\left[\frac{2^{4x}}{4\log 2}\right]}_{\frac{1}{4}}^1}$ 　　

（ ${\displaystyle {\left[F\left(x\right)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)}$ なので，${\displaystyle x}$ に ${\displaystyle a}$ と ${\displaystyle b}$ の値を代入し，計算する）

${\displaystyle =\frac{1}{4\log 2}\left(2^4-2\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{4\log 2}\left(16-2\right)}$

${\displaystyle =\frac{14}{4\log 2}}$

${\displaystyle =\frac{7}{2\log 2}}$

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最終更新日：2023年11月23日