部分積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_0^1{x}^2{e}^x}dx}$

■答

${\displaystyle e-2}$

■ヒント

部分積分法より，公式

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)g^{\prime }(x)dx={\left[f(x)g(x)\right]}_a^b}}$${\displaystyle -{\displaystyle {\int }_a^b{f}^{\prime }(x)g(x)dx}}$

を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_0^1{x}^2{e}^x}dx={\displaystyle {\int }_0^1{x}^2(e^x{)}^{\prime }}dx}$ とおいて考える．

（ ${\displaystyle e^x}$ が ${\displaystyle (e^x{)}^{\prime }}$ に変換できるのは， 積分 ${\displaystyle e^x}$ を参照）

よって，

${\displaystyle f(x)=x^2}$，${\displaystyle f^{\prime }(x)=2x}$

${\displaystyle g(x)=e^x}$，${\displaystyle g^{\prime }(x)=e^x}$

となる．

与式${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^1{x}^2(e^x{)}^{\prime }}dx}$

${\displaystyle ={\left[x^2{e}^x\right]}_0^1-{\displaystyle {\int }_0^{1}2x{e}^x}dx}$

${\displaystyle =1^2{e}^1-0^2{e}^0-2{\displaystyle {\int }_0^{1}x{e}^x}dx}$

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_0^{1}x{e}^x}dx}$ について，

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_0^{1}x{e}^x}dx={\displaystyle {\int }_0^{1}x(e^x{)}^{\prime }}dx}$

とおいて考える．よって，

${\displaystyle f(x)=x}$，${\displaystyle f^{\prime }(x)=1}$

${\displaystyle g(x)=e^x}$，${\displaystyle g^{\prime }(x)=e^x}$

となる．

よって，続きを解くと

${\displaystyle =e-0-2\left({\left[x{e}^x\right]}_0^1-{\displaystyle {\int }_0^{1}1\cdot e^x}dx\right)}$

${\displaystyle =e-2\left\{\left(1\cdot e^1-0\cdot e^0\right)-{\left[e^x\right]}_0^1\right\}}$

${\displaystyle =e-2\left\{\left(e-0\right)-\left(e^1-e^0\right)\right\}}$

${\displaystyle =e-2\left\{e-\left(e-1\right)\right\}}$

${\displaystyle =e-2\cdot 1}$

${\displaystyle =e-2}$

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最終更新日：2023年11月14日