置換積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_0^1\frac{x}{{\left(1-x^2\right)}^{\frac{1}{3}}}}dx}$

■答

${\displaystyle \frac{3}{4}}$

■ヒント

${\displaystyle 1-x^2=t}$ とおき，${\displaystyle t}$ の式に変換する． （置換積分法）

■解説

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_0^1\frac{x}{{\left(1-x^2\right)}^{\frac{1}{3}}}}dx}$　　　･･････(1)

${\displaystyle 1-x^2=t}$ とおく．（置換積分法） 　　･･････(2)

両辺を${\displaystyle x}$で微分して，

${\displaystyle -2x=\frac{dt}{dx}}$

よって，${\displaystyle xdx=-\frac{1}{2}dt}$　　　･･････(3)

${\displaystyle x}$の積分範囲より，

${\displaystyle x=0}$のとき，${\displaystyle t=1}$

${\displaystyle x=1}$ のとき，${\displaystyle t=0}$

であるから，${\displaystyle t}$ の積分範囲は，${\displaystyle 1\to 0}$　　　･･････(4)

(1)の式を変形すると，

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_0^1\frac{x}{{\left(1-x^2\right)}^{\frac{1}{3}}}}dx}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^1{\left(1-x^2\right)}^{-\frac{1}{3}}}\cdot xdx}$

(2),(3),(4)を代入して，

与式＝${\displaystyle {\displaystyle {\int }_1^0{t}^{-\frac{1}{3}}}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)dt}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^1{t}^{-\frac{1}{3}}}dt}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\left[\frac{3}{2}{t}^{\frac{2}{3}}\right]}_0^1}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}\left(1^{\frac{2}{3}}-0^{{}^{\frac{2}{3}}}\right)}$

${\displaystyle =\frac{3}{4}\cdot \left(1-0\right)}$

${\displaystyle =\frac{3}{4}}$

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最終更新日： 2023年11月14日