置換積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_0^1\sqrt{4-x^2}}dx}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{3}\pi +\frac{\sqrt{3}}{2}}$

■ヒント

${\displaystyle x=2\sin \theta }$ とおいて考える．

■解説

${\displaystyle x=2\sin \theta }$とおく．

両辺を${\displaystyle x}$ で微分すると，

${\displaystyle 1=2\cos \theta \frac{d\theta }{dx}}$　　（${\displaystyle \sin \theta }$ の微分についてはここを参照）

よって，

${\displaystyle dx=2\cos d\theta }$

積分範囲について考えると，${\displaystyle x=2\sin \theta }$ より，

${\displaystyle x=0}$ のとき，

${\displaystyle 2\sin \theta =0}$

よって，

${\displaystyle \theta =\frac{\pi }{2}}$

${\displaystyle x=1}$ のとき，

${\displaystyle 2\sin \theta =1}$ 　　${\displaystyle \sin \theta =\frac{1}{2}}$

よって，

${\displaystyle \theta =\frac{\pi }{6}}$

${\displaystyle \sqrt{4-x^2}}$ を${\displaystyle \theta }$ の式に変換すると，${\displaystyle x=2\sin \theta }$ より，

${\displaystyle \sqrt{4-x^2}}$

${\displaystyle =\sqrt{4-{\left(2\sin \theta \right)}^2}}$

${\displaystyle =\sqrt{4-4{\sin }^2\theta }}$

${\displaystyle =\sqrt{4\left(1-{\sin }^2\theta \right)}}$

${\displaystyle =\sqrt{4{\cos }^2\theta }}$

${\displaystyle 0\le \theta \le \frac{\pi }{6}}$ のとき，${\displaystyle \cos \theta }$ は正より

${\displaystyle =2\cos \theta }$

以上より，与式を${\displaystyle \theta }$ の式に変換すると，

与式${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{6}}2\cos \theta \cdot }2\cos \theta d\theta }$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{6}}4}{\cos }^2\theta d\theta }$

${\displaystyle =4{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{6}}{\cos }^2\theta }d\theta }$　･･････(1)

ここで，積分をしやすいようにcosの次数を下げる．

${\displaystyle \cos }$ の２倍角の公式より，

${\displaystyle \cos 2\theta }$

${\displaystyle ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta }$

${\displaystyle ={\cos }^2\theta -\left(1-{\cos }^2\theta \right)}$

${\displaystyle =2{\cos }^2\theta -1}$

よって，

${\displaystyle 2{\cos }^2\theta =\cos 2\theta +1}$

${\displaystyle {\cos }^2\theta =\frac{1+\cos 2\theta }{2}}$

これを(1)式に代入すると，

${\displaystyle 4{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{6}}\frac{1+\cos 2\theta }{2}}d\theta }$

${\displaystyle =2{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{6}}\left(1+\cos 2\theta \right)}d\theta }$

${\displaystyle =2{\left[\theta +\frac{1}{2}\sin 2\theta \right]}_0^{\frac{\pi }{6}}}$

${\displaystyle =2\left(\frac{\pi }{6}+\frac{1}{2}\sin 2\cdot \frac{\pi }{6}\right)}$

${\displaystyle =2\left(\frac{\pi }{6}+\frac{1}{2}\sin \frac{\pi }{3}\right)}$

${\displaystyle =2\left(\frac{\pi }{6}+\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right)}$

${\displaystyle =2\left(\frac{\pi }{6}+\frac{\sqrt{3}}{4}\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{3}\pi +\frac{\sqrt{3}}{2}}$

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最終更新日： 2023年11月14日