積分の問題(応用)

■問題

${\displaystyle y=x+\sqrt{x^2+5}}$ の逆関数を ${\displaystyle y=f(x)}$ とする．

（１）${\displaystyle f(x)}$ を求めよ．

（２）定積分 ${\displaystyle {\displaystyle {\int }_{\sqrt{5}}^{5}f(x)dx}}$ を求めよ．

■答

（１）${\displaystyle f(x)=\frac{x^2-5}{2x}}$　

（２）${\displaystyle 5-\frac{5\log 5}{4}}$

■解説

（１）${\displaystyle y=x+\sqrt{x^2+5}}$を${\displaystyle x}$ について解く．

${\displaystyle y-x=\sqrt{x^2+5}}$

ここで，${\displaystyle y-x}$ ＞${\displaystyle 0}$ に注意する．

両辺を2乗すると，

${\displaystyle {\left(y-x\right)}^2={\left(\sqrt{x^2+5}\right)}^2}$

${\displaystyle y^2-2xy+x^2=x^2+5}$

${\displaystyle x}$について解くと，

${\displaystyle y^2-2xy+x^2=x^2+5}$

${\displaystyle y^2-2xy=5}$

${\displaystyle -2xy=5-y^2}$

${\displaystyle x=-\frac{5-y^2}{2y}=\frac{y^2-5}{2y}}$ ･･････(1)

ここで，${\displaystyle y=x+\sqrt{x^2+5}}$の定義域を考える．

${\displaystyle y=x+\sqrt{x^2+5}}$のグラフを以下に示す．

定義域：実数全体　（ちなみに値域は，${\displaystyle y>0}$）

逆関数を求めるために(1)式の${\displaystyle x}$と${\displaystyle y}$を入れ替えると，

${\displaystyle y=f(x)=\frac{x^2-5}{2x}}$

逆関数${\displaystyle y=\frac{x^2-5}{2x}}$ のグラフを以下に示す．

逆関数を求める際に${\displaystyle x}$と${\displaystyle y}$を入れ替えているので，逆関数の定義域は元の関数の値域になる．

よって，逆関数の定義域は${\displaystyle x>0}$ となる．

（ちなみに値域は，実数全体）

${\displaystyle y=f(x)=\frac{x^2-5}{2x}}$

よって， ${\displaystyle y-x=\sqrt{x^2+5}}$の逆関数は，(1)の${\displaystyle x}$と${\displaystyle y}$を入れ替えて${\displaystyle y=\frac{x^2-5}{2x}}$となる(青線のグラフ)．

（２）（１）より，定積分${\displaystyle {\displaystyle {\int }_{\sqrt{5}}^{5}f(x)}dx}$を求めると，

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_{\sqrt{5}}^{5}f(x)}dx}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_{\sqrt{5}}^5\frac{x^2-5}{2x}}dx}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_{\sqrt{5}}^5\left(\frac{x}{2}-\frac{5}{2x}\right)}dx}$

${\displaystyle ={\left[\frac{1}{4}{x}^2-\frac{5}{2}\log x\right]}_{\sqrt{5}}^5}$

${\displaystyle =\frac{1}{4}\cdot 5^2-\frac{5}{2}\log 5}$${\displaystyle -\left(\frac{1}{4}\cdot {\sqrt{5}}^2-\frac{5}{2}\log \sqrt{5}\right)}$

${\displaystyle =\frac{25}{4}-\frac{5}{2}\log 5-\frac{5}{4}+\frac{5}{2}\log \sqrt{5}}$

${\displaystyle =\frac{20}{4}-\frac{5}{2}\log 5+\frac{5}{2}\log 5^{\frac{1}{2}}}$

${\displaystyle =5-\frac{5}{2}\log 5+\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{2}\log 5}$

${\displaystyle =5-\frac{5}{2}\log 5+\frac{5}{4}\log 5}$

${\displaystyle =5-\frac{5\log 5}{4}}$

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最終更新日： 2023年11月24日