定積分

■問題

次の定積分を解きなさい.

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_0^{\sqrt{2}}{x}^2\sqrt{4-x^2}}dx}$

■答

${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

■ヒント

${\displaystyle x=2\sin \theta }$ とおいて考える(置換積分)．

${\displaystyle \sin }$ ，${\displaystyle \cos }$ の２乗がでてくるときは，２倍角の公式を使って次数を下げた式にして計算すると解きやすい．

■解説

${\displaystyle x=2\sin \theta }$とおく．

両辺を${\displaystyle \theta }$ で微分すると

${\displaystyle \frac{dx}{d\theta }=2\cos \theta }$

${\displaystyle dx=2\cos \theta d\theta }$

${\displaystyle x=2\sin \theta }$より

${\displaystyle x=0}$ のとき，${\displaystyle \theta =0}$

${\displaystyle x=\sqrt{2}}$ のとき，${\displaystyle \sqrt{2}=2\sin \theta }$，${\displaystyle \sin \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}}$，${\displaystyle \theta =\frac{\pi }{4}}$

積分範囲は，

${\displaystyle x:0\to \sqrt{2}}$

${\displaystyle \theta :0\to \frac{\pi }{4}}$

よって，${\displaystyle x=2\sin \theta }$ と ${\displaystyle dx=2\cos \theta d\theta }$ を代入して

積分範囲${\displaystyle 0\le \theta \le \frac{\pi }{4}}$ では${\displaystyle \cos \theta \ge 0}$である．

よって，${\displaystyle \sqrt{4{\cos }^2\theta }=2\cos \theta }$（ルートを外すときは符号に注意）

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}4{\sin }^2\theta }\cdot 2\cos \theta \cdot 2\cos \theta d\theta }$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}16{\sin }^2\theta }{\cos }^2\theta d\theta }$

2倍角の公式（${\displaystyle \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta }$ ）より，（次数を下げるため）

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}4{\left(2\sin \theta \cos \theta \right)}^{2}d\theta }}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}4{\left(\sin 2\theta \right)}^2}d\theta }$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}4{\sin }^{2}2\theta }d\theta }$

２倍角の公式（ ${\displaystyle \cos 2\theta =1-{\sin }^2\theta }$　${\displaystyle \to {\sin }^2\theta =\frac{1-\cos 2\theta }{2}}$ ）より，

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}4\left(\frac{1-\cos 4\theta }{2}\right)}d\theta }$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}2\left(1-\cos 4\theta \right)}d\theta }$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\left(2-2\cos 4\theta \right)}d\theta }$

${\displaystyle ={\left[2\theta -\frac{1}{2}\cdot \sin 4\theta \right]}_0^{\frac{\pi }{4}}}$

${\displaystyle =2\cdot \frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}\cdot \sin 4\cdot \frac{\pi }{4}}$${\displaystyle -\left(2\cdot 0-\frac{1}{2}\cdot \sin 4\cdot 0\right)}$

${\displaystyle =\frac{\pi }{2}-0-\left(0-0\right)}$

${\displaystyle =\frac{\pi }{2}}$

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最終更新日： 2023年11月29日