次の問題を積分せよ(不定積分).
∫ 1 x−1 − x+1 dx
− 1 3 { ( x−1 ) x−1 +( x+1 ) x+1 }+C ( Cは積分定数)
不定積分の基本式(2)より
∫ { f( x )±g( x ) } dx = ∫ f( x )dx ± ∫ g( x )dx ・・・・・・(1)
基本となる関数の積分より
∫ x α dx= 1 α+1 x α+1 +C ( α は −1 以外の実数) ・・・・・・(2)
の公式を用いる.
1 x−1 − x+1 の分母を有理化する.
1 x−1 − x+1 × x−1 + x+1 x−1 + x+1 = x−1 + x+1 ( x−1 )−( x+1 )
=− 1 2 ( x−1 + x+1 )
よって
=− 1 2 ∫ ( x−1 + x+1 ) dx
=− 1 2 { ∫ x−1 dx+ ∫ x+1 dx }
(項ごとに分けることが可能となるのは(1)を参照)
=− 1 2 { ∫ ( x−1 ) 1 2 dx+ ∫ ( x+1 ) 1 2 dx }
( x−1 を x の累乗に変形する)
=− 1 2 { 2 3 ( x−1 ) 3 2 + 2 3 ( x+1 ) 3 2 }+C ( Cは積分定数)
((2)を参照)
=− 1 3 { ( x−1 ) x−1 +( x+1 ) x+1 }+C
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最終更新日: 2023年11月24日
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