問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\int }_0^6\left|\frac{x}{2}-1\right|dx}$

■解説動画

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■答

${\displaystyle 5}$

■ヒント

定積分の基本式より

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)}$ ･･････(1) 　

基本となる関数の積分より

　 ${\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$ （ $C$ は積分定数）　･･････(2) 　

■解説

まず， ${\displaystyle \left|\frac{x}{2}-1\right|}$ を場合分けする．

${\displaystyle 0\leqq x<2}$ のとき， ${\displaystyle \left|\frac{x}{2}-1\right|=-\left(\frac{x}{2}-1\right)}$

${\displaystyle 2\leqq x\leqq 6}$ のとき， ${\displaystyle \left|\frac{x}{2}-1\right|=\left(\frac{x}{2}-1\right)}$

したがって

与式 ${\displaystyle ={\int }_0^2\left\{-\left(\frac{x}{2}-1\right)\right\}dx}$ ${\displaystyle +{\int }_2^6\left(\frac{x}{2}-1\right)dx}$

（この定積分の基本式を参照）

${\displaystyle =-{\int }_0^2\left(\frac{x}{2}-1\right)dx}$ ${\displaystyle +{\int }_2^6\left(\frac{x}{2}-1\right)dx}$

（ ${\displaystyle -}$ を積分記号 ${\displaystyle \int }$ の前に移せるのは， 不定積分の基本式を参照）

ヒントの式(2)を適用する．

${\displaystyle =-{\left[\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}{x}^2-x\right]}_0^2+{\left[\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}{x}^2-x\right]}_2^6}$

${\displaystyle =-{\left[\frac{x^2}{4}-x\right]}_0^2+{\left[\frac{x^2}{4}-x\right]}_2^6}$

${\displaystyle =-\left\{\left(\frac{2^2}{4}-2\right)-\left(\frac{0}{4}-0\right)\right\}}$ ${\displaystyle +\left\{\left(\frac{6^2}{4}-6\right)-\left(\frac{2^2}{4}-2\right)\right\}}$

${\displaystyle =-\left(\frac{4}{4}-2\right)}$ ${\displaystyle +\left\{\left(\frac{36}{4}-6\right)-\left(\frac{4}{4}-2\right)\right\}}$

${\displaystyle =-\left(1-2\right)+\left\{\left(9-6\right)-\left(1-2\right)\right\}}$

${\displaystyle =-\left(-1\right)+\{3-\left(-1\right)\} }$

${\displaystyle =1+\left(3+1\right)}$

${\displaystyle =5}$

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2025年2月21日

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