不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int 5^x}dx}$  

■答

${\displaystyle \frac{5^x}{\log 5}+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int e^x}dx=e^x+C}$　　（$C$は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

指数関数の底を${\displaystyle e}$ に変換する．指数関数の底の変換の仕方より

${\displaystyle x=a^{{\log }_{a}x}}$　･･････(2)

(2)の $x$を${\displaystyle 5^x}$ ，$a$を$e$ に入れ換えた

${\displaystyle 5^x=e^{x\log 5}}$　･･････(3)

(3)を与式に代入する．

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int e^{x\log 5}}dx}$

${\displaystyle =\frac{1}{\log 5}{e}^{x\log 5}+C}$　　（$C$は積分定数）

(基本となる関数の積分より)

${\displaystyle =\frac{5^x}{\log 5}+C}$

(${\displaystyle e^{x\log 5}=5^x}$ の関係を使って，指数関数の底を$5$ に戻した)

　

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最終更新日： 2023年11月24日