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基本的な対数方程式の問題

■問題

次の対数方程式を解け．

${\displaystyle {log}_3(x-1)={log}_9(x+1)}$

■答

${\displaystyle x=3}$

■解説

${\displaystyle {log}_3(x-1)={log}_9(x+1)}$　･･････(1)

最初に真数条件（真数>0）を確認する．

${\displaystyle x-1>0,x+1>0}$

${\displaystyle \Rightarrow x>1,x>-1}$

すなわち，真数条件は

${\displaystyle x>1}$

となる．

与式の右辺を変形する．

底の値を $3$ に統一するために，底の変換公式を用いる．

${\displaystyle {log}_9(x+1)}$ ${\displaystyle =\frac{{log}_3(x+1)}{{log}_{3}9}}$　･･････(2)

(2)の右辺の分母の対数の真数を${\displaystyle a^r}$ の形に変形する．

${\displaystyle =\frac{{log}_3(x+1)}{{log}_3{3}^2}}$　･･････(3)

分母の対数に${\displaystyle {log}_a{R}^t=t{log}_{a}R}$ の公式を適用すると

${\displaystyle =\frac{{log}_3(x+1)}{2{log}_{3}3}}$

となる．次に${\displaystyle {log}_{a}a=1}$より

${\displaystyle =\frac{{log}_3(x+1)}{2}}$

つまり，与式は

${\displaystyle {log}_3(x-1)}$ ${\displaystyle =\frac{{log}_3(x+1)}{2}}$　･･････(4)

と変形できる．(4)の両辺に2をかけると

${\displaystyle 2{log}_3(x-1)}$ ${\displaystyle ={log}_3(x+1)}$　･･････(5)

（5）の左辺に${\displaystyle t{log}_{a}R={log}_a{R}^t}$ の公式を適用すると

${\displaystyle {log}_3{\left(x-1\right)}^2}$ ${\displaystyle ={log}_3(x+1)}$　･･････(6)

と変形できる．(以下，対数方程式の解法の2を参照）

(6)より，左辺と右辺の真数同士は等しくなる．よって

${\displaystyle {\left(x-1\right)}^2}$${\displaystyle =(x+1)}$

${\displaystyle x^2-2x+1}$${\displaystyle =x+1}$

${\displaystyle x^2-3x}$${\displaystyle =0}$

${\displaystyle x\left(x-3\right)}$

${\displaystyle x=0,3}$

ゆえに${\displaystyle x}$の値は

${\displaystyle x=3}$　 (真数条件，${\displaystyle x>1}$ より)

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2024年9月3日

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