基本的な対数方程式の問題
■問題
次の対数方程式を解け.
log3(x−1)=log9(x+1)
■動画解説
■答
x=3
■解説
log3(x−1)=log9(x+1)
・・・・・・(1)
最初に真数条件(真数>0)を確認する.
x−1>0,x+1>0
⇒x>1,x>−1
すなわち,真数条件は
x>1
となる.
与式の右辺を変形する.
底の値を
3
に統一するために,底の変換公式を用いる.
log9(x+1)
=log3(x+1)log39
・・・・・・(2)
(2)の右辺の分母の対数の真数を
ar
の形に変形する.
=log3(x+1)log332
・・・・・・(3)
分母の対数に
logaRt=tlogaR
の公式を適用すると
=log3(x+1)2log33
となる.次に
logaa=1
より
=log3(x+1)2
つまり,与式は
log3(x−1)
=log3(x+1)2
・・・・・・(4)
と変形できる.(4)の両辺に2をかけると
2log3(x−1)
=log3(x+1)
・・・・・・(5)
(5)の左辺に
tlogaR=logaRt
の公式を適用すると
log3(x−1)2
=log3(x+1)
・・・・・・(6)
と変形できる.(以下,対数方程式の解法の2を参照)
(6)より,左辺と右辺の真数同士は等しくなる.よって
(x−1)2
=(x+1)
x2−2x+1
=x+1
x2−3x
=0
x(x−3)
x=0,3
ゆえに
x
の値は
x=3
(真数条件,
x>1
より)
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作成:学生スタッフ
最終更新日:
2025年2月13日