問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

対数不等式の問題

■問題

次の対数不等式を解け．

${\displaystyle {log}_2(x-1)+{log}_{4}2<0}$

■答

${\displaystyle 1<x<\frac{\sqrt{2}+2}{2}}$

■計算

${\displaystyle {log}_2(x-1)+{log}_{4}2}$${\displaystyle <0}$

${\displaystyle {log}_2(x-1)+\frac{{log}_{2}2}{{log}_{2}4}}$${\displaystyle <0}$

${\displaystyle {log}_2(x-1)+\frac{{log}_{2}2}{{log}_2{2}^2}}$${\displaystyle <0}$

${\displaystyle {log}_2(x-1)+\frac{{log}_{2}2}{2{log}_{2}2}}$${\displaystyle <0}$

${\displaystyle {log}_2(x-1)+\frac{1}{2}}$${\displaystyle <0}$

${\displaystyle {log}_2(x-1)}$${\displaystyle <-\frac{1}{2}}$

${\displaystyle {log}_2(x-1)}$${\displaystyle <-\frac{1}{2}{log}_{2}2}$

${\displaystyle {log}_2(x-1)}$${\displaystyle <{log}_2{2}^{-\frac{1}{2}}}$

対数の底の数が${\displaystyle 2>1}$より

${\displaystyle (x-1)}$${\displaystyle <2^{-\frac{1}{2}}}$

${\displaystyle (x-1)}$${\displaystyle <\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}}$

${\displaystyle (x-1)}$${\displaystyle <\frac{1}{\sqrt{2}}}$

${\displaystyle x}$${\displaystyle <\frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}+1}$

${\displaystyle x}$${\displaystyle <\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{2}{2}}$

${\displaystyle x}$${\displaystyle <\frac{\sqrt{2}+2}{2}}$

真数条件が${\displaystyle x>1}$より

${\displaystyle 1<x<\frac{\sqrt{2}+2}{2}}$

■解説

最初に，真数条件より

${\displaystyle x-1>0}$

すなわち

${\displaystyle x>1}$

次に与式を変形し，不等式の左辺と右辺が同じ底の対数になるようにする．

与式の対数が複数あり，底の値が同じでない．まず，対数の底を統一するために底の変換公式を用いる．

${\displaystyle {log}_{4}2}$${\displaystyle =\frac{{log}_{2}2}{{log}_{2}4}}$${\displaystyle =\frac{{log}_{2}2}{{log}_2{2}^2}}$

${\displaystyle {log}_a{R}^t=t{log}_{a}R}$ の公式にあてはめると

${\displaystyle {log}_{4}2=\frac{{log}_{2}2}{2{log}_{2}2}}$

次に${\displaystyle {log}_{a}a=1}$より

${\displaystyle {log}_{4}2=\frac{1}{2}}$

即ち，与式は

${\displaystyle {log}_2(x-1)+{log}_{4}2}$${\displaystyle <0}$

${\displaystyle {log}_2(x-1)+\frac{1}{2}}$${\displaystyle <0}$　(変形部部を右辺に移項すると)

${\displaystyle {log}_2(x-1)}$${\displaystyle <-\frac{1}{2}}$

　

再度，公式${\displaystyle 1={log}_{a}a}$ ， ${\displaystyle t{log}_{a}R={log}_a{R}^t}$を用いて

${\displaystyle {log}_2(x-1)<-\frac{1}{2}}$

${\displaystyle {log}_2(x-1)<-\frac{1}{2}{log}_{2}2}$

${\displaystyle {log}_2(x-1)<{log}_2{2}^{-\frac{1}{2}}}$

これで底の値を統一させることができた．

底の値２は２>１である．即ち，このグラフは単調増加であるので，対数の大小関係と，真数の大小関係は変化しない．

${\displaystyle x-1}$${\displaystyle <2^{-\frac{1}{2}}}$

${\displaystyle x}$${\displaystyle <\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}+1}$

${\displaystyle x}$${\displaystyle <\frac{1}{\sqrt{2}}+1}$

${\displaystyle x}$${\displaystyle <\frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}+1}$　（分母分子に${\displaystyle \sqrt{2}}$ を乗じて，有理化する．）

${\displaystyle x}$${\displaystyle <\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{2}{2}}$

${\displaystyle x}$${\displaystyle <\frac{\sqrt{2}+2}{2}}$

最初に求めた真数条件は，${\displaystyle x>1}$であるので，求める${\displaystyle x}$の範囲は

${\displaystyle 1<x<\frac{\sqrt{2}+2}{2}}$

となる．

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月28日

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