基本的な指数不等式の問題

■問題

次の指数不等式を解け．

$3^{2 x} > 27$ $3^{2 x} > 27$

$x > \frac{3}{2}$ $x > \frac{3}{2}$

$3^{2 x}$ $3^{2 x}$ $> 27$ $> 27$

$3^{2 x}$ $3^{2 x}$ $> 3^{3}$ $> 3^{3}$

底が3(>1)より

$2 x$ $2 x$ $> 3$ $> 3$

$x$ $x$ $> \frac{3}{2}$ $> \frac{3}{2}$

与式を見ると，右辺が $3$ $3$ の倍数である．

また，左辺は底が $3$ $3$ の指数を用いた数であるので，両辺を底が $3$ $3$ の指数を用いた数に統一する．

$3^{2 x}$ $3^{2 x}$ $> 27$ $> 27$

$3^{2 x}$ $3^{2 x}$ $> 3 \times 3 \times 3$ $> 3 \times 3 \times 3$

$3^{2 x}$ $3^{2 x}$ $> 3^{3}$ $> 3^{3}$

与式は底が $3$ $3$ の指数を用いた数に統一された．

底が３の指数関数は底が $1$ $1$ より大きいので，グラフは単調増加である．

よって，与式の指数における大小関係は変化しない．

指数の関係式は次のようになる．

$2 x > 3$ $2 x > 3$

ゆえに，求める不等式の解は

$x > \frac{3}{2}$ $x > \frac{3}{2}$

作成：学生スタッフ

最終更新日： 2025年2月13日