問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

基本的な指数不等式の問題

■問題

次の指数不等式を解け．

${\displaystyle 3^{2x}>27}$

■答

${\displaystyle x>\frac{3}{2}}$

■計算

${\displaystyle 3^{2x}}$${\displaystyle >27}$

${\displaystyle 3^{2x}}$${\displaystyle >3^3}$

底が3(>1)より

${\displaystyle 2x}$${\displaystyle >3}$

${\displaystyle x}$${\displaystyle >\frac{3}{2}}$

■解説

与式を見ると，右辺が$3$の倍数である．

また，左辺は底が$3$の指数を用いた数であるので，両辺を底が$3$の指数を用いた数に統一する．

${\displaystyle 3^{2x}}$${\displaystyle >27}$

${\displaystyle 3^{2x}}$${\displaystyle >3\times 3\times 3}$

${\displaystyle 3^{2x}}$${\displaystyle >3^3}$

与式は底が$3$の指数を用いた数に統一された．

底が３の指数関数は底が$1$より大きいので，グラフは単調増加である．

よって，与式の指数における大小関係は変化しない．

指数の関係式は次のようになる．

${\displaystyle 2x>3}$

ゆえに，求める不等式の解は

${\displaystyle x>\frac{3}{2}}$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月28日

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