基本的な指数不等式の問題

■問題

次の指数不等式を解け．

${(0.5)}^{x} > 0.25$ ${(0.5)}^{x} > 0.25$

■答

$x < 2$ $x < 2$

■計算

${(0.5)}^{x}$ ${(0.5)}^{x}$ $> 0.25$ $> 0.25$

${(\frac{1}{2})}^{x}$ ${(\frac{1}{2})}^{x}$ $> \frac{1}{4}$ $> \frac{1}{4}$

${(2^{- 1})}^{x}$ ${(2^{- 1})}^{x}$ $> 4^{- 1}$ $> 4^{- 1}$

$2^{- 1 \cdot x}$ $2^{- 1 \cdot x}$ $> {(2^{2})}^{- 1}$ $> {(2^{2})}^{- 1}$

$2^{- x}$ $2^{- x}$ $> 2^{- 2}$ $> 2^{- 2}$

底が $2$ $2$ ( $> 1$ $> 1$ )より

$- x$ $- x$ $> - 2$ $> - 2$

$x$ $x$ $< 2$ $< 2$

●別解

${(0.5)}^{x}$ ${(0.5)}^{x}$ $> 0.25$ $> 0.25$

${(0.5)}^{x}$ ${(0.5)}^{x}$ $> {(0.5)}^{2}$ $> {(0.5)}^{2}$

底が $0.5$ $0.5$ ( $0 < 0.5 < 1$ $0 < 0.5 < 1$ )より

$x < 2$ $x < 2$

■解説

両辺を $a^{r}$ $a^{r}$ の形に式変形する．

${(0.5)}^{x}$ ${(0.5)}^{x}$ $> 0.25$ $> 0.25$

${(\frac{5}{10})}^{x}$ ${(\frac{5}{10})}^{x}$ $> \frac{25}{100}$ $> \frac{25}{100}$

${(\frac{1 \times 5}{2 \times 5})}^{x}$ ${(\frac{1 \times 5}{2 \times 5})}^{x}$ $> \frac{1 \times 25}{4 \times 25}$ $> \frac{1 \times 25}{4 \times 25}$

${(\frac{1}{2})}^{x}$ ${(\frac{1}{2})}^{x}$ $> \frac{1}{4}$ $> \frac{1}{4}$

${(2^{- 1})}^{x}$ ${(2^{- 1})}^{x}$ $> 4^{- 1}$ $> 4^{- 1}$

$2^{- 1 \cdot x}$ $2^{- 1 \cdot x}$ $> {(2^{2})}^{- 1}$ $> {(2^{2})}^{- 1}$ 　　指数法則より

$2^{- x}$ $2^{- x}$ $> 2^{- 2}$ $> 2^{- 2}$

与式は底が $2$ $2$ の指数を用いた数に統一された．

底が $2$ $2$ の指数関数は底が $1$ $1$ より大きいので，グラフは単調増加である．(ここを参照)

よって，与式の指数における大小関係は変化しない．

指数の関係式は次のようになる．

$- x > - 2$ $- x > - 2$

ゆえに，求める不等式の解は

$x < 2$ $x < 2$

●別解

右辺の $0.25$ $0.25$ が $0.5$ $0.5$ の $2$ $2$ 乗であることに気づくと

${(0.5)}^{x}$ ${(0.5)}^{x}$ $> 0.25$ $> 0.25$

${(0.5)}^{x}$ ${(0.5)}^{x}$ $> {(0.5)}^{2}$ $> {(0.5)}^{2}$

上式の底は $0.5$ $0.5$ である．底 $a$ $a$ が $0 < a < 1$ $0 < a < 1$ のときグラフは単調減少になる．(ここを参照)

このとき指数の大小関係は逆になるので，下の関係式が得られる．

$x < 2$ $x < 2$

よって，答が得られた．

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月28日