基本的な指数方程式の問題

■問題

次の指数不等式を解け．

${(\frac{1}{3})}^{2 x} > 27^{x + 1}$ ${(\frac{1}{3})}^{2 x} > 27^{x + 1}$

$x < - \frac{3}{5}$ $x < - \frac{3}{5}$

${(3^{- 1})}^{2 x}$ ${(3^{- 1})}^{2 x}$ $> {(3^{3})}^{x + 1}$ $> {(3^{3})}^{x + 1}$

$3^{- 2 x}$ $3^{- 2 x}$ $> 3^{3 (x + 1)}$ $> 3^{3 (x + 1)}$

底は $3$ $3$ （ $> 1$ $> 1$ ）より（このページを参照）

$- 2 x$ $- 2 x$ $> 3 (x + 1)$ $> 3 (x + 1)$

$- 2 x$ $- 2 x$ $> 3 x + 3$ $> 3 x + 3$

$- 5 x$ $- 5 x$ $> 3$ $> 3$

$x$ $x$ $< - \frac{3}{5}$ $< - \frac{3}{5}$

与式を見ると，左辺，右辺は

$\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$ $= 3^{- 1}$ $= 3^{- 1}$

$27$ $27$ $= 3^{3}$ $= 3^{3}$

となり，底を $3$ $3$ に統一することができる．

右辺を式変形する．指数法則を用いると

$27^{x + 1} = {(3^{3})}^{x + 1} = 3^{3 (x + 1)}$ $27^{x + 1} = {(3^{3})}^{x + 1} = 3^{3 (x + 1)}$

となる．

左辺も同様に指数法則を用いて変形すると

${(\frac{1}{3})}^{2 x} = {(3^{- 1})}^{2 x} = 3^{- 2 x}$ ${(\frac{1}{3})}^{2 x} = {(3^{- 1})}^{2 x} = 3^{- 2 x}$

となる．よって与式は

$3^{- 2 x} > 3^{3 x + 1}$ $3^{- 2 x} > 3^{3 x + 1}$

となる．

底 $3$ $3$ は $1$ $1$ より大きいので， $3^{r}$ $3^{r}$ の値の大小関係は指数 $r$ $r$ の大小関係と対応している．(ここを参照)

$- 2 x > 3 (x + 1)$ $- 2 x > 3 (x + 1)$

が成り立つ．これについて $x$ $x$ について解くと

$- 2 x$ $- 2 x$ $> 3 x + 3$ $> 3 x + 3$

$- 5 x$ $- 5 x$ $> 3$ $> 3$

両辺を $- 5 (< 0)$ $- 5 (< 0)$ で割ると，不等号の向きが変わり，求める $x$ $x$ の範囲は

$x < - \frac{3}{5}$ $x < - \frac{3}{5}$

作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月28日