基本的な対数関数のグラフ

■問題

$y = 2 + 3 {log}_{\frac{1}{2}} (4 x + 2)$ のグラフは $y = {log}_{2} x$ をどのように変形したものか述べよ．またそのグラフを描け．

■答

■ヒント

基本となるグラフを原点を中心に拡大と平行移動することによって描く．

$y = 2 + 3 {log}_{\frac{1}{2}} (4 x + 2)$

のグラフの場合，基本となるグラフは

$y = {log}_{2} x$

である．

■解き方

関数 $y = f (x)$ のグラフを

原点を中心に $x$ 軸方向に $c$ 倍， $y$ 軸方向に $d$ 倍した後， $x$ 軸方向に $a$ ， $y$ 軸方向に $b$ 平行移動

したグラフを表す関数は

$\frac{y - b}{d} = f (\frac{x - a}{c})$ 　･･････(1)

である．(グラフの拡大→平行移動参照)

題意より,(1)の $f (x)$ は

$f (x) = \log_{2} x$

となる．

対数の底を $2$ に変換した後，(1)の形になるように式を変形する．

$y = 2 + 3 \frac{{log}_{2} (4 x + 2)}{{log}_{2} \frac{1}{2}}$

$y = 2 + 3 \frac{{log}_{2} (4 x + 2)}{- 1}$

$y = 2 - 3 {log}_{2} (4 x + 2)$

$y - 2 = - 3 \log_{2} 4 (x + \frac{1}{2})$

$\frac{y - 2}{- 3} = \log_{2} (\frac{x - (- \frac{1}{2})}{\frac{1}{4}})$

$f (\frac{x - a}{c})$ に対応するのは $\log_{2} (\frac{x - (- \frac{1}{2})}{\frac{1}{4}})$ であり，(1)より $x$ 軸方向の倍率 $c$ に相当するのは $\frac{1}{4}$ であり， $x$ 軸方向の平行移動量aに相当するのは $- \frac{1}{2}$ となる．また， $\frac{y - b}{d}$ に対応するのは $\frac{y - 2}{- 3}$ であり，(1)より $y$ 軸方向の倍率 $d$ に相当するのは $- 3$ であり， $y$ 軸方向の平行移動量 $b$ に相当するのは $- 2$ となる．

したがって， $y = 2 + 3 {log}_{\frac{1}{2}} (4 x + 2)$ のグラフは， $y = {log}_{2} x$ のグラフを

$x$ 軸方向に $\frac{1}{4}$ 倍， $y$ 軸方向に $- 3$ 倍した後， $x$ 軸方向に $- \frac{1}{2}$ ， $y$ 軸方向に $2$ 平行移動

したものである．したがって，グラフは下図のようになる．

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月29日