基本的な対数関数の計算

■問題

${log}_{2} (\frac{1}{\sqrt{8}})$ ${log}_{2} (\frac{1}{\sqrt{8}})$

$- \frac{3}{2}$ $- \frac{3}{2}$

(1) ${log}_{2} (\frac{1}{\sqrt{8}}) = x$ ${log}_{2} (\frac{1}{\sqrt{8}}) = x$ とおいて解く．

(2)対数の性質を利用して解く．

(1) ${log}_{2} (\frac{1}{\sqrt{8}}) = x$ ${log}_{2} (\frac{1}{\sqrt{8}}) = x$ とおく．

${log}_{2} (\frac{1}{\sqrt{8}}) = x$ ${log}_{2} (\frac{1}{\sqrt{8}}) = x$ ⇔ $2^{x} = (\frac{1}{\sqrt{8}})$ $2^{x} = (\frac{1}{\sqrt{8}})$ (対数の定義参照)

$2^{x} = (\frac{1}{\sqrt{8}})$ $2^{x} = (\frac{1}{\sqrt{8}})$

$= {(\sqrt{8})}^{- 1}$ $= {(\sqrt{8})}^{- 1}$ (ここを参照)

$= {(\sqrt{2^{3}})}^{- 1}$ $= {(\sqrt{2^{3}})}^{- 1}$

$= {\{{(2^{3})}^{\frac{1}{2}}\}}^{- 1}$ $= {\{{(2^{3})}^{\frac{1}{2}}\}}^{- 1}$ (ここを参照)

$= {(2^{3 \times \frac{1}{2}})}^{(- 1)}$ $= {(2^{3 \times \frac{1}{2}})}^{(- 1)}$ (∵ ${(a^{r})}^{s} = a^{r s}$ ${(a^{r})}^{s} = a^{r s}$ )

$= 2^{3 \times \frac{1}{2} \times (- 1)}$ $= 2^{3 \times \frac{1}{2} \times (- 1)}$

$= 2^{- \frac{3}{2}}$ $= 2^{- \frac{3}{2}}$

すなわち

$2^{x} = 2^{- \frac{3}{2}}$ $2^{x} = 2^{- \frac{3}{2}}$

両辺とも底が $2$ $2$ と同じてある．よって，指数同士も等しくなる．

$x = - \frac{3}{2}$ $x = - \frac{3}{2}$

(2)対数の性質を使って解く．

${log}_{2} (\frac{1}{\sqrt{8}})$ ${log}_{2} (\frac{1}{\sqrt{8}})$ $= \log_{2} {(\sqrt{8})}^{- 1}$ $= \log_{2} {(\sqrt{8})}^{- 1}$

$= {log}_{2} 2^{- \frac{3}{2}}$ $= {log}_{2} 2^{- \frac{3}{2}}$

$= - \frac{3}{2}$ $= - \frac{3}{2}$ (∵ $\log_{a} a = 1$ $\log_{a} a = 1$ )

作成：学生スタッフ

最終更新日： 2025年2月13日