基本的な指数関数のグラフ

■問題

次の式のグラフを描け．

$y = 2^{2 x + 1} + 1$ $y = 2^{2 x + 1} + 1$

■答

■ヒント

基本となるグラフを原点を中心に拡大と平行移動することによって描く．

$y = 2^{2 x + 1} + 1$ $y = 2^{2 x + 1} + 1$

のグラフの場合，基本となるグラフは

$y = 2^{x}$ $y = 2^{x}$

である．

■解き方

関数 $y = f (x)$ $y = f (x)$ のグラフを

原点を中心に， $x$ $x$ 軸方向に $c$ $c$ 倍， $y$ $y$ 軸方向に $d$ $d$ 倍した後， $x$ $x$ 軸方向に $a$ $a$ ， $y$ $y$ 軸方向に $b$ $b$ 平行移動

したグラフを表す関数は

$\frac{y - b}{d} = f (\frac{x - a}{c})$ $\frac{y - b}{d} = f (\frac{x - a}{c})$ 　･･････(1)

である．(グラフの拡大→平行移動参照)

$y = 2^{2 x + 1} + 1$ $y = 2^{2 x + 1} + 1$ を以下のように変形する.

$y = 2^{2 x + 1} + 1$ $y = 2^{2 x + 1} + 1$

$y - 1 = 2^{2 x + 1}$ $y - 1 = 2^{2 x + 1}$

$\frac{y - 1}{1} = 2^{2 (x + \frac{1}{2})}$ $\frac{y - 1}{1} = 2^{2 (x + \frac{1}{2})}$

$\frac{y - 1}{1} = 2^{\frac{x - (- \frac{1}{2})}{\frac{1}{2}}}$ $\frac{y - 1}{1} = 2^{\frac{x - (- \frac{1}{2})}{\frac{1}{2}}}$

よって

$\frac{x - a}{c} = \frac{x - (- \frac{1}{2})}{\frac{1}{2}}$ $\frac{x - a}{c} = \frac{x - (- \frac{1}{2})}{\frac{1}{2}}$

$\frac{y - b}{d} = \frac{y - 1}{1}$ $\frac{y - b}{d} = \frac{y - 1}{1}$

となる

ゆえに， $x$ $x$ 軸方向の倍率 $c$ $c$ に相当するのは $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ であり， $y$ $y$ 軸方向の倍率 $d$ $d$ に相当するのは $1$ $1$ である.

また， $x$ $x$ 軸方向の平行移動量 $a$ $a$ に相当するのは $- \frac{1}{2}$ $- \frac{1}{2}$ であり， $y$ $y$ 軸方向の平行移動量 $b$ $b$ に相当するのは $1$ $1$ である.

以上より

$y = 2^{2 x + 1} + 1$ $y = 2^{2 x + 1} + 1$

のグラフは

$y = 2^{x}$ $y = 2^{x}$

のグラフを

原点を中心に $x$ $x$ 軸方向に $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ 倍， $y$ $y$ 軸方向に $1$ $1$ 倍した後， $x$ $x$ 軸方向に $- \frac{1}{2}$ $- \frac{1}{2}$ ， $y$ $y$ 軸方向に $1$ $1$ 平行移動

したものであることがわかる．

したがって，グラフは下図のようになる． $y = 4^{x}$ $y = 4^{x}$ のグラフはここを参照

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月29日