基本的な指数不等式の問題

■問題

次の指数不等式を解け．

$9^{t} - 4 \cdot 3^{t + 1} + 27 < 0$ $9^{t} - 4 \cdot 3^{t + 1} + 27 < 0$

$1 < t < 2$ $1 < t < 2$

$9^{t} = {(3^{2})}^{t} = {(3^{t})}^{2}$ $9^{t} = {(3^{2})}^{t} = {(3^{t})}^{2}$ 指数法則を参照

$3^{t + 1} = 3^{t} \cdot 3 = 3 \cdot 3^{t}$ $3^{t + 1} = 3^{t} \cdot 3 = 3 \cdot 3^{t}$

$3^{t} = T$ $3^{t} = T$

とおいて， $T$ $T$ の2次式と考えて不等式を解く

与式の左辺を変形すると

${(3^{2})}^{t} - 4 \cdot 3^{t} \cdot 3 + 27 < 0$ ${(3^{2})}^{t} - 4 \cdot 3^{t} \cdot 3 + 27 < 0$

${(3^{t})}^{2} - 12 \cdot 3^{t} + 27 < 0$ ${(3^{t})}^{2} - 12 \cdot 3^{t} + 27 < 0$

となる．

ここで， $3^{t} = T$ $3^{t} = T$ とおく．

ただし， $T > 0$ $T > 0$ ･･････(1)

よって

$T^{2} - 12 T + 27 < 0$ $T^{2} - 12 T + 27 < 0$

$(T - 9) (T - 3) < 0$ $(T - 9) (T - 3) < 0$

$3 < T < 9$ $3 < T < 9$

これは(1)を満たしている．よって

$3 < 3^{t} < 9$ $3 < 3^{t} < 9$

$3^{1} < 3^{t} < 3^{2}$ $3^{1} < 3^{t} < 3^{2}$

底は $3$ $3$ $(> 1)$ $(> 1)$ より(このページを参照)

求める $t$ $t$ の範囲は

$1 < t < 2$ $1 < t < 2$

となる．

$f (t) = 9^{t} - 4 \cdot 3^{t + 1} + 27$ $f (t) = 9^{t} - 4 \cdot 3^{t + 1} + 27$

とおくと，下の図のようなグラフになる．

作成：学生スタッフ

最終更新日： 2025年2月13日