基本的な指数不等式の問題

■問題

次の指数不等式を解け．

$4^{t} - 3 \cdot 2^{t} - 4 < 0$ $4^{t} - 3 \cdot 2^{t} - 4 < 0$

$t < 2$ $t < 2$

$4^{t} = {(2^{2})}^{t} = {(2^{t})}^{2}$ $4^{t} = {(2^{2})}^{t} = {(2^{t})}^{2}$ 　指数法則を参照

$2^{t} = T$ $2^{t} = T$

とおいて， $T$ $T$ の2次式と考えて不等式を解く

与式の左辺を変形すると

${(2^{2})}^{t} - 3 \cdot 2^{t} - 4 < 0$ ${(2^{2})}^{t} - 3 \cdot 2^{t} - 4 < 0$

${(2^{t})}^{2} - 3 \cdot 2^{t} - 4 < 0$ ${(2^{t})}^{2} - 3 \cdot 2^{t} - 4 < 0$

となる．

ここで， $2^{t} = T$ $2^{t} = T$ とおく．

ただし， $T > 0$ $T > 0$ ･･････（１）

よって

$T^{2} - 3 T + 4 < 0$ $T^{2} - 3 T + 4 < 0$

$(T - 4) (T + 1) < 0$ $(T - 4) (T + 1) < 0$

$- 1 < T < 4$ $- 1 < T < 4$ 　　　･･････(2)

(1)，(2)より

$0 < T < 4$ $0 < T < 4$

ゆえに

$0 < 2^{t} < 2^{2}$ $0 < 2^{t} < 2^{2}$

底は2 $(> 1)$ $(> 1)$ より(このページを参照)

求める $t$ $t$ の範囲は

$t < 2$ $t < 2$

となる．

$f (t) = 4^{t} - 3 \cdot 2^{t} - 4$ $f (t) = 4^{t} - 3 \cdot 2^{t} - 4$

とおくと，下の図のようなグラフになる．

作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月28日