基本的な指数方程式の問題

■問題

次の指数方程式を解け．

$2^{x} = 3^{x - 1}$

$x = \frac{\log_{2} 3}{\log_{2} 3 - 1}$ ，さらに式を変形して， $x = \frac{\log_{2} 3}{\log_{2} \frac{3}{2}}$ としてもよい．その他の表現もある．

両辺に底が $2$ の対数を取る．

$\log_{2} 2^{x} = \log_{2} 3^{x - 1}$

ここで，対数の性質を用いて左辺の真数の指数部分を対数の係数として前に出す．

$x \log_{2} 2 = (x - 1) \log_{2} 3$

与式の左辺は $2^{x}$ という底が $2$ ，指数が $x$ になっている．

与式の右辺は $3^{x - 1}$ という底が $3$ ，指数が $x - 1$ になっている．

与式の両辺に底が $2$ の対数を取ると

$\log_{2} 2^{x} = \log_{2} 3^{x - 1}$

となる．

ここで，対数の性質を用いて左辺の真数の指数部分を対数の係数として前に出すと

$x \log_{2} 2 = (x - 1) \log_{2} 3$

となり， $\log_{2} 2 = 1$ より

与式は

$x = (x - 1) \log_{2} 3$

となる．

次に，右辺を展開すると

$x = x \log_{2} 3 - \log_{2} 3$

となり

$x$ を含む項を左辺に移項すると

$x - x \log_{2} 3 = - \log_{2} 3$

$x \log_{2} 3 - x = \log_{2} 3$

左辺を $x$ についてまとめると

$x (\log_{2} 3 - 1) = \log_{2} 3$

与式を $x$ について解くと

$x = \frac{\log_{2} 3}{\log_{2} 3 - 1}$

となる．

更に， $\log_{2} 2 = 1$ より上記の式を変形して

$x (\log_{2} 3 - \log_{2} 2) = \log_{2} 3$

となり，対数の性質より左辺は

$x \log_{2} \frac{3}{2} = \log_{2} 3$

と式変形できる．

与式の両辺を $\log_{2} \frac{3}{2}$ で割って

$x = \frac{\log_{2} 3}{\log_{2} \frac{3}{2}}$

としてもよい．

作成：学生スタッフ

最終更新日： 2025年11月10日