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基本的な指数不等式の問題

■問題

次の指数不等式を解け．

${\displaystyle {\displaystyle 5^x+5^{-x}\geqq 2}}$

■答

すべての実数${\displaystyle {\displaystyle x}}$において成り立つ．等号成立は${\displaystyle x=0}$

■ヒント

指数${\displaystyle {\displaystyle x}}$が実数の場合${\displaystyle 5^x>0}$ ，${\displaystyle 5^{-x}>0}$ より相加平均・相乗平均の関係を考える．

■解き方

与式の左辺は${\displaystyle 5^x}$ という底が${\displaystyle 5}$ ，指数が${\displaystyle {\displaystyle x}}$ の関数と，${\displaystyle 5^{-x}}$ という底が${\displaystyle 5}$ ，指数が${\displaystyle -x}$ の関数の和になっている．

指数${\displaystyle {\displaystyle x}}$が実数の場合${\displaystyle 5^x>0}$ ，${\displaystyle 5^{-x}>0}$ より相加平均・相乗平均の関係を考える．

${\displaystyle 5^x+5^{-x}\geqq 2\sqrt{5^x\times 5^{-x}}}$

指数法則より右辺を計算すると，

${\displaystyle 5^x+5^{-x}\geqq 2}$

となる．

上式よりすべての実数${\displaystyle {\displaystyle x}}$で成り立つ．

等号成立は，${\displaystyle 5^x=5^{-x}}$より

${\displaystyle x=0}$

となる．

よって，求める不等式の範囲はすべての実数${\displaystyle {\displaystyle x}}$，等号成立は${\displaystyle x=0}$

となる．

別解として，与式の右辺を左辺に移項すると

${\displaystyle 5^x+5^{-x}-2\ge 0}$

指数法則を用いて，左辺を変形すると

${\displaystyle {\left\{{\left(\sqrt{5}\right)}^2\right\}}^x-2+{\left\{{\left(\sqrt{5}\right)}^2\right\}}^{-x}\ge 0}$

${\displaystyle {\left\{{\left(\sqrt{5}\right)}^x\right\}}^2-2+{\left\{{\left(\sqrt{5}\right)}^{-x}\right\}}^2\ge 0}$

${\displaystyle {\left\{{\left(\sqrt{5}\right)}^x-{\left(\sqrt{5}\right)}^{-x}\right\}}^2\ge 0}$

となり，不等式がすべての実数${\displaystyle x}$ で成り立っていることが分かる．

等号成立は，${\displaystyle {\left(\sqrt{5}\right)}^x-{\left(\sqrt{5}\right)}^{-x}=0}$ より

${\displaystyle x=0}$

となる．

よって，求める不等式の範囲はすべての実数${\displaystyle {\displaystyle x}}$，等号成立は${\displaystyle x=0}$

としてもよい．

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2025年10月3日

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