問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

基本的な対数方程式の問題

■問題

次の対数方程式を解け．

${\displaystyle {log}_{5}2x=-1}$ 

■答

${\displaystyle x=\frac{1}{10}}$ 

■ヒント

(1)${\displaystyle -1}$を底${\displaystyle 5}$の対数にする

(2)対数方程式を指数方程式に書き換えて解く(別解)

■計算

${\displaystyle {log}_{5}2x}$${\displaystyle =-1}$${\displaystyle =-{log}_{5}5}$${\displaystyle ={log}_5{5}^{-1}}$

${\displaystyle 2x}$${\displaystyle =5^{-1}}$${\displaystyle =\frac{1}{5}}$${\displaystyle x=\frac{1}{10}}$

　 (真数条件，${\displaystyle x>0}$を満たしている )

■解説

最初に真数条件を確認する．

${\displaystyle 2x>0}$

すなわち

${\displaystyle x>0}$

方程式の右辺を底の値が$5$の対数に変換する．

${\displaystyle {log}_{5}2x}$${\displaystyle =-1}$${\displaystyle =-{log}_{5}5}$

となる．

${\displaystyle t{log}_{a}R={log}_a{R}^t}$ の公式にあてはめると

${\displaystyle -{log}_{5}5}$ ${\displaystyle ={log}_5{5}^{-1}}$

与式は

${\displaystyle {log}_{5}2x}$ ${\displaystyle ={log}_5{5}^{-1}}$

と変形できる．(以下，対数方程式の解法の2を参照）

${\displaystyle 2x}$${\displaystyle =5^{-1}}$${\displaystyle =\frac{1}{5}}$${\displaystyle x=\frac{1}{10}}$

(真数条件：${\displaystyle x>0}$ を満たしている)

 

(別解)

${\displaystyle {log}_{5}2x=-1}$

の関係を指数を用いて表すと(指数と対数の関係を参照)

${\displaystyle 5^{-1}=2x}$

${\displaystyle 2x=\frac{1}{5}}$

${\displaystyle x=\frac{1}{10}}$

${\displaystyle 2x=2\times \frac{1}{10}=\frac{1}{5}>0}$

となり${\displaystyle x=\frac{1}{10}}$ は真数条件を満たしている．

したがって

${\displaystyle x=\frac{1}{10}}$

■問題へ戻る

ホーム>>カテゴリー分類>>指数／対数>>対数に関する問題>>基本的な対数方程式の問題

作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月28日

[ページトップ]

利用規約

google translate (English version)