部分分数の分解

■問題

次の分数を部分分数に分解しなさい．

$\frac{2 x + 4}{x^{2} + 4 x - 12}$ $\frac{2 x + 4}{x^{2} + 4 x - 12}$

$\frac{1}{x + 6} + \frac{1}{x - 2}$ $\frac{1}{x + 6} + \frac{1}{x - 2}$

分母を因数分解すると

$\frac{2 x + 4}{x^{2} + 4 x - 12} = \frac{2 x + 4}{(x + 6) (x - 2)}$ $\frac{2 x + 4}{x^{2} + 4 x - 12} = \frac{2 x + 4}{(x + 6) (x - 2)}$

となる．次に，

$\frac{2 x + 4}{(x + 6) (x - 2)} = \frac{A}{x + 6} + \frac{B}{x - 2}$ $\frac{2 x + 4}{(x + 6) (x - 2)} = \frac{A}{x + 6} + \frac{B}{x - 2}$

とおく．

$\frac{A}{x + 6} + \frac{B}{x - 2}$ $\frac{A}{x + 6} + \frac{B}{x - 2}$	$= \frac{A (x - 2) + B (x + 6)}{(x + 6) (x - 2)}$ $= \frac{A (x - 2) + B (x + 6)}{(x + 6) (x - 2)}$

よって

${\begin{matrix} A + B = 2 \\ - 2 A + 6 B = 4 \end{matrix}$

の関係が成り立てばよい．

$B = 2 - A$

$- 2 A + 6 (2 - A) = 4$

$- 8 A = - 8$

$A = 1$

$B = 1$

以上より

$\frac{2 x + 4}{x^{2} + 4 x - 12} = \frac{1}{x + 6} + \frac{1}{x - 2}$

学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年6月27日