問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

因数分解

■問題

${\displaystyle x^3+11x^2+32x+28}$

■答

${\displaystyle {\left(x+2\right)}^2\left(x+7\right)}$

■方針

因数定理を利用する

■解き方

係数がすべて正であるので，$x$に正の値を入れても与式は0になることはない．よって，負の値を代入する．

よって，与式は${\displaystyle x+2}$ を因数に持つので

${\displaystyle \left(x+2\right)\text{×}A=x^3+11x^2+32x+28}$

となる式${\displaystyle A}$ が存在する。

よって${\displaystyle A}$ は

${\displaystyle \begin{array}{ll}\hfill & x^2+9x+14\hfill \\ x+2\hfill & \overline{)x^3+11x^2+32x+28}\hfill \\ \hfill & x^3+2x^2\hfill \\ \hfill & \overline{9x^2+32x}\hfill \\ \hfill & 9x^2+18x\hfill \\ \hfill & \overline{14x+28}\hfill \\ \hfill & 14x+28\hfill \\ \hfill & \overline{0}\hfill \end{array}}$　筆算による整式の割り算を参照

よって

${\displaystyle A=\left(x^3+11x^2+32x+28\right)÷\left(x+2\right)}$ ${\displaystyle =x^2+9x+14}$

となる。

次に${\displaystyle A}$ をたすきがけ手法による因数分解する．

掛け合わせて${\displaystyle x^2}$ の係数の $1$ となる組み合わせは $\left(1,1\right)$ ， $\left(-1,-1\right)$

掛け合わせて $14$ となる組合わせは $\left(\mathrm{２},7\right)$ ， $\left(1,14\right)$ ， ${\displaystyle \left(-2,-7\right)}$ ， ${\displaystyle \left(-1,-14\right)}$ であるので

${\displaystyle \begin{array}{lllll}1\hfill & {}_{\searrow }{}_{\nearrow }\hfill & 2\hfill & \to \hfill & 2\hfill \\ 1\hfill & {}^{\nearrow }{}^{\searrow }\hfill & 7\hfill & \to \hfill & 7\hfill \\ \hfill & \hfill & \hfill & \hfill & 9\hfill \end{array}}$

となる．よって

${\displaystyle A=\left(x+2\right)\left(x+7\right)}$

となる．

以上より

${\displaystyle x^3+11x^2+32x+28={\left(x+2\right)}^2\left(x+7\right)}$

となる。

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2024年9月19日

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