問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

和の計算

■問題

次の和を求めよ．

${\displaystyle \sum _{k=1}^4\left(2^k-3k\right)}$

■ヒント

左の項は，等比数列の一般項の形に変形する．
等比数列の和と考えて，等比数列の和の公式

${\displaystyle S_n=\frac{a_1\left(r^n-1\right)}{r-1}}$

を用いて求める．

右の項は，和の公式

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k=\frac{n\left(n+1\right)}{2}}$

を用いて求める．

■答

${\displaystyle \sum _{k=1}^4\left(2^k-3k\right)}$

${\displaystyle =\sum _{k=1}^4{2}^k-3\sum _{k=1}^{4}k}$

${\displaystyle 2^k=2·2^{k-1}}$ と変換し，等比数列の一般項${\displaystyle a_n=a·r^{n-1}}$ の形にする．

${\displaystyle =\sum _{k=1}^{4}2·2^{k-1}-3\sum _{k=1}^{4}k}$

等比数列と考えると${\displaystyle a_1=2,r=2}$である．上記の等比数列の和の公式 を適用する．

${\displaystyle =\frac{2\left(2^4-1\right)}{2-1}-3\times \frac{4\left(4+1\right)}{2}}$

${\displaystyle =30-30}$

${\displaystyle =0}$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年12月14日

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