数列の極限に関する問題

■問題

数列

$\frac{2 + 9}{5 - 3}, \frac{2^{2} + 9}{5^{2} - 3}, \frac{2^{3} + 9}{5^{3} - 3}$ $, \cdot \cdot \cdot, \frac{2^{n} + 9}{5^{n} - 3}$ $, \cdot \cdot \cdot$

すなわち第 $n$ 項

$a_{n} = \frac{2^{n} + 9}{5^{n} - 3}$

となる数列の極限値

$lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} \frac{2^{n} + 9}{5^{n} - 3}$

を求めよ．

■答

$lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} \frac{2^{n} + 9}{5^{n} - 3} = 0$

■ヒント

分母の変数の中で最も次数の高いもので分子・分母を割る．

式を変形した後， $n$ が含まれている項のみ， $n$ が $\infty$ になったときの値を調べる．

最後に，式全体で収束・発散を判断する．

■解き方

$lim_{n \to \infty} \frac{2^{n} + 9}{5^{n} - 3}$

$n \to \infty$ とすると， $\frac{\infty}{\infty}$ の形になる．従って，分母の変数の中で最も次数の高いもので
分子・分母を割る．

$= lim_{n \to \infty} \frac{{(\frac{2}{5})}^{n} + \frac{9}{5^{n}}}{1 - \frac{3}{5^{n}}}$

$n$ が含まれていない項は一定であるから， ${(\frac{2}{5})}^{n}, \frac{9}{5^{n}}, \frac{3}{5^{n}}$ の $n$ が $\infty$ になったときの値を調べればよい．

$[1]$ ${(\frac{2}{5})}^{n}$

$- 1 < \frac{2}{5} < 1$ であるから，極限の基本式より

$n \to \infty$ ならば， ${(\frac{2}{5})}^{n}$ は $0$ に収束する

$[2]$ $\frac{9}{5^{n}}$

$n \to \infty$ ならば， $\frac{9}{5^{n}}$ は $0$ に収束する．

$[3]$ $\frac{3}{5^{n}}$

$n \to \infty$ ならば， $\frac{3}{5^{n}}$ は $0$ に収束する

$[1], [2], [3]$ より

$lim_{n \to \infty} \frac{2^{n} + 9}{5^{n} - 3}$ $= lim_{n \to \infty} \frac{{(\frac{2}{5})}^{n} + \frac{9}{5^{n}}}{1 - \frac{3}{5^{n}}}$ $= \frac{0 + 0}{1 - 0}$ $= 0$

よって，与式は $0$ に収束する．

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2024年5月28日