外積の計算

■問題

$\to a = (4, 3, 1)$ $\vec{a} = (4, 3, 1)$ ， $\to b = (2, - 1, 1)$ $\vec{b} = (2, - 1, 1)$ のベクトルの外積 $\to a \times \to b$ $\vec{a} \times \vec{b}$ を求めよ．

■解説動画

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■答

$\to a \times \to b = (4, - 2, - 10)$ $\vec{a} \times \vec{b} = (4, - 2, - 10)$

■ヒント

$\vec{a} = (a_{x}, a_{y}, a_{z})$ ， $\vec{b} = (b_{x}, b_{y}, b_{z})$ のとき

$\vec{a} \times \vec{b}$ $= (a_{y} b_{z} - a_{z} b_{y}, a_{z} b_{x} - a_{x} b_{z}, a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x})$ (外積の成分表示を参照)

となる．

■解説

$\vec{a} \times \vec{b}$ $= (a_{y} b_{z} - a_{z} b_{y}, a_{z} b_{x} - a_{x} b_{z}, a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x})$ より

$a_{y} b_{z} - a_{z} b_{y} = 3 \times 1 - 1 \times (- 1) = 4$

$a_{z} b_{x} - a_{x} b_{z} = 1 \times 2 - 4 \times 1 = - 2$

$a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x} = 4 \times (- 1) - 3 \times 2 = - 10$

よって，求めるベクトルの外積は

$\vec{a} \times \vec{b} = (4, - 2, - 10)$

となる．

■3Dグラフ

0,0

az = 1.00

el = 0.30

bank = 0.00

$x$

$y$

$z$

$\rm{O}$

$\vec{a}=(4,3,1)$

${\vec{b}=(2,-1,1)}$

$\vec{a}\times\vec{b}=(4,-2,10)$

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最終更新日： 2025年2月21日