問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください.

垂線の長さの問題

■問題

平面 x+2y+4z=21 に,原点から垂線を降ろした.その垂線の長さを求めよ.

■解説動画

ベクトルの動画一覧のページへ

■答

21

■ヒント

平面の方程式から垂線の方程式をつくる.

原点から垂線を降ろし,交わった点の座標を求め,この値から垂線の長さを求める.

あるいは,公式

ax0+by0+cz0+da2+b2+c2

を使う.

■解説

平面に垂直なベクトルは

1,2,4

(平面の方程式の xyz の係数が,平面に垂直な法線ベクトルの成分になる.平面の方程式を参照 )

である.よって,原点を通って平面に直交する直線の方程式

x1=y2=z4

となる.

x1=y2=z4=t

とおくと

{x=ty=2tz=4t

(媒介変数を用いた直線の方程式)

となる.これらを平面の方程式に代入すると

t+2(2t)+4(4t)=2

t+4t+16t=21

21t=21

t=1

となる.よって

x1=y2=z4=1

となり

x=1,y=2,z=4

が得られ,原点から垂線を降ろし交わった点の座標は

(1,2,4)

となる.

したがって垂線の長さは

12+22+42=21

公式を使うと

ax0+by0+cz0+da2+b2+c2 =10+20+402112+22+42 =21

となる.

■3D Graph

H(1,2,4)
(21,0,0)
(0,\(\frac{21}{2}\),0)
(0,0,\(\frac{21}{4}\))
\(x\)
\(y\)
\(z\)

JSXGraph Copyright (C) see http://jsxgraph.org

 

ホーム>>カテゴリー分類>>ベクトル>>平面と直線の方程式に関する問題>>垂線の長さの問題

学生スタッフ
最終更新日: 2025年2月21日

[ページトップ]

金沢工業大学

利用規約

google translate (English version)

Chat window

The chat window has been closed