外積の計算

■問題

$\vec{a} = (4, 1, 3)$ ， $\vec{b} = (1, 2, 1)$ ， $\vec{c} = (2, - 1, 2)$ の外積 $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c})$ を求めよ．

$\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c})$ $= (0, - 3, 1)$

はじめに以下のように展開してから計算を進める．

$\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$

$\vec{a} = (a_{x}, a_{y}, a_{z})$ ， $\vec{b} = (b_{x}, b_{y}, b_{z})$ ， $\vec{c} = (c_{x}, c_{y}, c_{z})$ のとき

$\vec{a} \times \vec{b}$ $= (a_{y} b_{z} - a_{z} b_{y}, a_{z} b_{x} - a_{x} b_{z}, a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x})$

$\vec{a} \times \vec{c}$ $= (a_{y} c_{z} - a_{z} c_{y}, a_{z} c_{x} - a_{x} c_{z}, a_{x} c_{y} - a_{y} c_{x})$

$\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c})$ を展開すると

$\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$

となる．

はじめに， $\vec{a} \times \vec{b}$ を求める．

$a_{y} b_{z} - a_{z} b_{y} = 1 \times 1 - 3 \times 2 = - 5$

$a_{z} b_{x} - a_{x} b_{z} = 3 \times 1 - 4 \times 1 = - 1$

$a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x} = 4 \times 2 - 1 \times 1 = 7$

次に， $\vec{a} \times \vec{c}$ を求める．

$a_{y} c_{z} - a_{z} c_{y} = 1 \times 2 - 3 \times (- 1) = 5$

$a_{z} c_{x} - a_{x} c_{z} = 3 \times 2 - 4 \times 2 = - 2$

$a_{x} c_{y} - a_{y} c_{x} = 4 \times (- 1) - 1 \times 2 = - 6$

よって，求める外積は，

$\vec{a} (\vec{b} + \vec{c})$

$= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$

$= (- 5, - 1, 7) + (5, - 2, - 6)$

$= (0, - 3, 1)$

となる．

学生スタッフ
最終更新日： 2023年2月16日