平面の方程式の問題

■問題

空間座標上の3点${\displaystyle \text{A}\left(1,1,-2\right)}$ ，${\displaystyle \text{B}\left(1,-1,2\right)}$ ，${\displaystyle \text{C}\left(2,2,1\right)}$ を通る平面の方程式を求めよ．

■答

${\displaystyle 5x-2y-z-5=0}$

■ヒント

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AC}}}$ は3点${\displaystyle \text{A}\left(1,1,-2\right)}$ ，${\displaystyle \text{B}\left(1,-1,2\right)}$ ，${\displaystyle \text{C}\left(2,2,1\right)}$ を通る平面上のベクトルであり，外積 ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}}$ は平面に垂直なベクトルとなる．(法線ベクトル参照)

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}=\left(a_x,a_y,a_z\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AC}}=\left(b_x,b_y,b_z\right)}$ のとき

である．

■解説

初めに， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AC}}}$ を求める．

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{AO}}+\overrightarrow{\text{OB}}=\overrightarrow{\text{OB}}-\overrightarrow{\text{OA}}}$

${\displaystyle =(1,-1,2)-(1,1,2)=(0,-2,4)}$

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AO}}+\overrightarrow{\text{OC}}=\overrightarrow{\text{OC}}-\overrightarrow{\text{OA}}}$

${\displaystyle =(2,2,1)-(1,1,-2)=(1,1,3)}$

となる．

よって，求める外積 ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}}$ は， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}=\left(0,-2,4\right)}$ ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AC}}=\left(1,1,3\right)}$ より

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}}$

${\displaystyle =(-10,4,2)}$

となる．

したがって，点 ${\displaystyle \text{A}\left(1,1,-2\right)}$ を通り， ${\displaystyle \left(-10,4,2\right)}$

を法線ベクトルとする平面は，

${\displaystyle -10\left(x-1\right)+4\left(y-1\right)+2\left(z+2\right)=0}$

${\displaystyle -10x+4y+2z=-10}$

${\displaystyle 5x-2y-z=5}$

よって，求める平面の方程式は

${\displaystyle 5x-2y-z-5=0}$

となる．

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学生スタッフ
最終更新日： 2023年2月17日