垂直な単位ベクトル

■問題

$\vec{a} = (- 4, 3)$ $\vec{a} = (- 4, 3)$ に垂直な単位ベクトルを求めよ．

■解説動画

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■答

$\pm (\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ $\pm (\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$

■ヒント

ベクトル $\vec{a}$ $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ $\vec{b}$ が垂直ならば，なす角が90°なので

$\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} | \cos 90 ° = 0$ $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} | \cos 90 ° = 0$

となる．

また

垂直な単位ベクトルは互いに逆向きの2つのベクトルになる．

■解説

求める単位ベクトルを $\vec{b} = (m, n)$ $\vec{b} = (m, n)$ とする．大きさは $1$ $1$ なので

$\sqrt{m^{2} + n^{2}} = 1$ $\sqrt{m^{2} + n^{2}} = 1$

$m^{2} + n^{2} = 1$ $m^{2} + n^{2} = 1$ ･･････(1)

また

$\vec{a \cdot} \vec{b} = - 4 m + 3 n = 0$ $\vec{a \cdot} \vec{b} = - 4 m + 3 n = 0$

$m = \frac{3}{4} n$ $m = \frac{3}{4} n$ ･･････(2)

(2)を(1)に代入すると

${(\frac{3}{4} n)}^{2} + n^{2} = 1$ ${(\frac{3}{4} n)}^{2} + n^{2} = 1$

$n^{2} = \frac{16}{25}$ $n^{2} = \frac{16}{25}$

よって

$n = \pm \frac{4}{5}$ $n = \pm \frac{4}{5}$ ， $m = \frac{3}{4} \cdot (\pm \frac{4}{5}) = \pm \frac{3}{5}$ $m = \frac{3}{4} \cdot (\pm \frac{4}{5}) = \pm \frac{3}{5}$

以上より

$\vec{b} = \pm (\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ $\vec{b} = \pm (\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$

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学生スタッフ
最終更新日： 2025年2月21日