ベクトルの計算問題

■問題

${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(1,3\right)}$ をベクトルの始点を中心として反時計回りに60°回転したベクトルを求めよ．

■答

${\displaystyle \left(\frac{1-3\sqrt{3}}{2},\frac{3+\sqrt{3}}{2}\right)}$

■ヒント

• 回転しただけなので，ベクトルの大きさは変化しない．
• 求めるベクトルと ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ のなす角は60°である．

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■解説

求めるベクトルを ${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(x,y\right)}$ とする．

${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ は ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ を回転しただけである．よって

${\displaystyle \left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{a}\right|}$ ${\displaystyle =\sqrt{1^2+3^2}}$ ${\displaystyle =\sqrt{10}}$ ･･････(1)

${\displaystyle \sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{10}}$

${\displaystyle x^2+y^2=10}$ ･･････(2)

となる．

また，問題文に書かれているより， ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ のなす角は60°である．よって

${\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|}=\cos 60°}$

${\displaystyle \frac{\left(1,3\right)\cdot \left(x,y\right)}{\sqrt{10}\sqrt{10}}=\frac{1}{2}}$ （∵(1)）

${\displaystyle x+3y=5}$

${\displaystyle x=5-3y}$ ･･････(3)

(3)を(2)に代入する

${\displaystyle {\left(5-3y\right)}^2+y^2=10}$

${\displaystyle 25-30y+9y^2+y^2=10}$

${\displaystyle 10y^2-30y+15=0}$

${\displaystyle 2y^2-6y+3=0}$

${\displaystyle y=\frac{3\pm \sqrt{{\left(-3\right)}^2-2\cdot 3}}{2}}$ ${\displaystyle =\frac{3\pm \sqrt{3}}{2}}$ ･･････(4)

(4)を(3)に代入する．

${\displaystyle x=5-3\left(\frac{3\pm \sqrt{3}}{2}\right)}$

${\displaystyle x=\frac{10-9\mp 3\sqrt{3}}{2}}$ ${\displaystyle =\frac{1\mp 3\sqrt{3}}{2}}$ ･･････(5)

(4)と(5)より

${\displaystyle \left(x,y\right)=\left(\frac{1-3\sqrt{3}}{2},\frac{3+\sqrt{3}}{2}\right)}$ ${\displaystyle ,\left(\frac{1+3\sqrt{3}}{2},\frac{3-\sqrt{3}}{2}\right)}$

が得られる． ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ の始点が原点にあるとすると，時計回りに60°回転したベクトルは ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ と重なる直線 ${\displaystyle y=3x}$ より上側( $x$ の正方向側)にある，

${\displaystyle \left(\frac{1-3\sqrt{3}}{2},\frac{3+\sqrt{3}}{2}\right)}$ 場合

${\displaystyle \frac{3+\sqrt{3}}{2}-3\left(\frac{1-3\sqrt{3}}{2}\right)}$ ${\displaystyle =\frac{3+\sqrt{3}-3+9\sqrt{3}}{2}}$ ${\displaystyle =5\sqrt{3}>0}$

となり，直線より上にある．

${\displaystyle \left(\frac{1+3\sqrt{3}}{2},\frac{3-\sqrt{3}}{2}\right)}$ の場合

${\displaystyle \frac{3-\sqrt{3}}{2}-3\left(\frac{1+3\sqrt{3}}{2}\right)}$ ${\displaystyle =\frac{3-\sqrt{3}-3-9\sqrt{3}}{2}}$ ${\displaystyle =-5\sqrt{3}<0}$

となり，直線より下にある．

以上より

${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(\frac{1-3\sqrt{3}}{2},\frac{3+\sqrt{3}}{2}\right)}$

となる．

　

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最終更新日： 2025年10月9日