ベクトルの計算問題

■問題

点$\text{A}$ ${\displaystyle \left(-2,1\right)}$ ，点$\text{B}$ ${\displaystyle \left(4,3\right)}$，点$\text{P}$ ${\displaystyle \left(x,y\right)}$ とする．たさし，$x$，$y$は変数である．ベクトル方程式

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AP}}\cdot \overrightarrow{\text{BP}}=0}$

を満たす点$\text{P}$が描く図形を答よ．

■答

点$\text{P}$は，点${\displaystyle \left(1,2\right)}$ を中心とする半径$\sqrt{10}$の円を描く

■ヒント

ベクトルを用いた円の方程式を参照

■解説

座標平面の原点を点$\text{O}$とする．

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AP}}=\overrightarrow{\text{AO}}+\overrightarrow{\text{OP}}}$${\displaystyle =\overrightarrow{\text{OP}}-\overrightarrow{\text{OA}}}$${\displaystyle =\left(x,y\right)-\left(-2,1\right)}$${\displaystyle =\left(x+2,y-1\right)}$　･･････(1)

${\displaystyle \overrightarrow{\text{BP}}=\overrightarrow{\text{BO}}+\overrightarrow{\text{OP}}}$${\displaystyle =\overrightarrow{\text{OP}}-\overrightarrow{\text{OB}}}$${\displaystyle =\left(x,y\right)-\left(4,3\right)}$${\displaystyle =\left(x-4,y-3\right)}$　･･････(2)

(1)，(2)より

${\displaystyle \left(x+2,y-1\right)\cdot \left(x-4,y-3\right)=0}$　･･････(3)

となるベクトル方程式が得られる．これを以下のように整理する．

${\displaystyle \left(x+2\right)\left(x-4\right)+\left(y-1\right)\left(y-3\right)=0}$

${\displaystyle x^2-2x-8+y^2-4y+3=0}$

${\displaystyle {\left(x-1\right)}^2-9+{\left(y-2\right)}^2-1=0}$

${\displaystyle {\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=10}$

${\displaystyle {\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2={\left(\sqrt{10}\right)}^2}$　･･････(4)

(4)より点$\text{P}$は，点${\displaystyle \left(1,2\right)}$ を中心とする半径$\sqrt{10}$の円を描く(円の方程式を参照)．

点$\text{P}$をドラッグして動かしてみよう．

　

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最終更新日： 2025年10月17日