ベクトルに関する問題

■問題

三角形 $ABC$ $ABC$ の各頂点 $A$ $A$ ， $B$ $B$ ， $C$ $C$ と各対辺の中点のを結ぶ3つの線分(中線)は1点で交わることを示せ．

■ヒント

線分 $BC$ $BC$ の中点を $A^{'}$ $A^{'}$ ， $AC$ $AC$ の中点を $B^{'}$ $B^{'}$ ， $AB$ $AB$ の中点を $C^{'}$ $C^{'}$ とすると， 3つの中線は線分 $A A^{'}$ $A A^{'}$ ，線分 $B B^{'}$ $B B^{'}$ ，線分 $C C^{'}$ $C C^{'}$ である．線分 $A A^{'}$ $A A^{'}$ と線分 $B B^{'}$ $B B^{'}$ の交点を点 $P$ $P$ ，線分 $A A^{'}$ $A A^{'}$ と線分 $C C^{'}$ $C C^{'}$ の交点を点 $Q$ $Q$ ，線分 $B B^{'}$ $B B^{'}$ と線分 $C C^{'}$ $C C^{'}$ の交点を点 $R$ $R$ とする．証明は，点 $P$ $P$ ，点 $Q$ $Q$ ，点 $R$ $R$ が一致することを示せばよい．

■答

三角形 $ABC$ $ABC$ の角頂点 $A$ $A$ ， $B$ $B$ ， $C$ $C$ の位置ベクトルを $\to a$ $\vec{a}$ ， $\to b$ $\vec{b}$ ， $\to c$ $\vec{c}$ とし．位置ベクトルの始点を点 $O$ $O$ とする．

●点 $P$ $P$ を位置ベクトル $\to a$ $\vec{a}$ ， $\to b$ $\vec{b}$ ， $\to c$ $\vec{c}$ で表す

点 $P$ $P$ は中線 $A A^{'}$ $A A^{'}$ 上にあることより

$- - \to OP = - - \to OA + - - \to A P$ $\vec{OP} = \vec{OA} + \vec{A P}$

$= - - \to OA + s - - \to A A^{'}$ $= \vec{OA} + s \vec{A A^{'}}$ （ $s$ $s$ は定数）

$= - - \to OA + s (- - \to AO + - - \to O A^{'})$ $= \vec{OA} + s (\vec{AO} + \vec{O A^{'}})$

$= - - \to OA + s (- - - \to OA + - - \to O A^{'})$ $= \vec{OA} + s (- \vec{OA} + \vec{O A^{'}})$

点

A^{'}

$A^{'}$ は線分

BC

$BC$ の中点，すなわち，線分

BC

$BC$ を

1 : 1

$1 : 1$ に内分する点であるので

$- - \to O A^{'} = \frac{1}{2} (\to b + \to c)$ $\vec{O A^{'}} = \frac{1}{2} (\vec{b} + \vec{c})$

となる

$= \to a + s {- \to a + \frac{1}{2} (\to b + \to c)}$ $= \vec{a} + s \{- \vec{a} + \frac{1}{2} (\vec{b} + \vec{c})\}$

$= (1 - s) \to a + \frac{1}{2} s \to b + \frac{1}{2} s \to c$ $= (1 - s) \vec{a} + \frac{1}{2} s \vec{b} + \frac{1}{2} s \vec{c}$ 　･･････(1)

点 $P$ $P$ は中線 $B B^{'}$ $B B^{'}$ 上でもあることより

$- - \to OP = - - \to OB + - \to B P$ $\vec{OP} = \vec{OB} + \vec{B P}$

$= - - \to OB + t - - \to B B^{'}$ $= \vec{OB} + t \vec{B B^{'}}$ （ $t$ $t$ は定数）

$= - - \to OA + t (- - \to BO + - - \to O B^{'})$ $= \vec{OA} + t (\vec{BO} + \vec{O B^{'}})$

$= - - \to OB + t (- - - \to OB + - - \to O B^{'})$ $= \vec{OB} + t (- \vec{OB} + \vec{O B^{'}})$

点

B^{'}

$B^{'}$ は線分

AC

$AC$ の中点，すなわち，線分

AC

$AC$ を

1 : 1

$1 : 1$ に内分する点であるので

$- - \to O B^{'} = \frac{1}{2} (\to a + \to c)$ $\vec{O B^{'}} = \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{c})$

となる

$= \to b + s {- \to b + \frac{1}{2} (\to a + \to c)}$ $= \vec{b} + s \{- \vec{b} + \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{c})\}$

$= (1 - s) \to a + \frac{1}{2} s \to b + \frac{1}{2} s \to c$ $= (1 - s) \vec{a} + \frac{1}{2} s \vec{b} + \frac{1}{2} s \vec{c}$ 　･･････(2)

(1)，(2)より

$⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ \begin{matrix} 1 - s = \frac{1}{2} t \dots \dots (3) \frac{1}{2} s = 1 - t \dots \dots (4) \frac{1}{2} s = \frac{1}{2} t \dots \dots (5) \end{matrix}$ $\{\begin{cases} 1 - s = \frac{1}{2} t \dots \dots (3) \\ \frac{1}{2} s = 1 - t \dots \dots (4) \\ \frac{1}{2} s = \frac{1}{2} t \dots \dots (5) \end{cases}$

となる連立方程式が得られる．

(5)より

$s = t$ $s = t$ 　･･････(6)

(6)を(3)に代入する．

$1 - t = \frac{1}{2} t$ $1 - t = \frac{1}{2} t$

$- \frac{3}{2} t = - 1$ $- \frac{3}{2} t = - 1$

$t = \frac{2}{3}$ $t = \frac{2}{3}$ 　･･････(7)

(6)を(4)に代入する．

$1 - s = \frac{1}{2} s$ $1 - s = \frac{1}{2} s$

$- \frac{3}{2} s = - 1$ $- \frac{3}{2} s = - 1$

$s = \frac{2}{3}$ $s = \frac{2}{3}$ 　･･････(8)

(7)，(8)は(6)を満たしている．以上より連立方程式の解は

$s = t = \frac{2}{3}$ $s = t = \frac{2}{3}$ 　･･････(9)

となる．

(9)を(1)に代入すると

$- - \to OP$ $\vec{OP}$ $= (1 - \frac{2}{3}) \to a + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \to b + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \to c$ $= (1 - \frac{2}{3}) \vec{a} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \vec{c}$

$= \frac{1}{3} (\to a + \to b + \to c)$ $= \frac{1}{3} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$ 　･･････(10)

●点 $Q$ $Q$ を位置ベクトル $\to a$ $\vec{a}$ ， $\to b$ $\vec{b}$ ， $\to c$ $\vec{c}$ で表す

$- - \to OP$ $\vec{OP}$ と同様にして $- - \to OQ$ $\vec{OQ}$ を位置ベクトル $\to a$ $\vec{a}$ ， $\to b$ $\vec{b}$ ， $\to c$ $\vec{c}$ を用いて表すと

$- - \to OQ = \frac{1}{3} (\to a + \to b + \to c)$ $\vec{OQ} = \frac{1}{3} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$ 　･･････(11)

となる．

●点 $R$ $R$ を位置ベクトル $\to a$ $\vec{a}$ ， $\to b$ $\vec{b}$ ， $\to c$ $\vec{c}$ で表す

$- - \to OP$ $\vec{OP}$ と同様にして $- - \to OR$ $\vec{OR}$ を位置ベクトル $\to a$ $\vec{a}$ ， $\to b$ $\vec{b}$ ， $\to c$ $\vec{c}$ を用いて表すと

$- - \to OR = \frac{1}{3} (\to a + \to b + \to c)$ $\vec{OR} = \frac{1}{3} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$ 　･･････(12)

となる．

●(10)，(11)，(12)より

$- - \to OP = - - \to OQ = - - \to OR$ $\vec{OP} = \vec{OQ} = \vec{OR}$

となり，三角形 $ABC$ $ABC$ の各頂点 $A$ $A$ ， $B$ $B$ ， $C$ $C$ と各対辺の中点のを結ぶ3つの線分(中線)は1点で交わる．

この交点のことを重心といい，(9)の $s = t = \frac{2}{3}$ $s = t = \frac{2}{3}$ より

$- - \to AP = \frac{2}{3} - - \to A A^{'}$ $\vec{AP} = \frac{2}{3} \vec{A A^{'}}$ ， $- - \to BQ = \frac{2}{3} - - \to B B^{'}$ $\vec{BQ} = \frac{2}{3} \vec{B B^{'}}$ ， $- - \to CR = \frac{2}{3} - - \to C C^{'}$ $\vec{CR} = \frac{2}{3} \vec{C C^{'}}$

よって，重心は中線を $2 : 1$ に内分する．

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最終更新日： 2024年12月3日

ベクトルに関する問題

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■答

●(10)，(11)，(12)より

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