ベクトルの計算問題

■問題

座標平面において，点 $\text{A}$ ${\displaystyle \left(-4,2\right)}$ ， 点 $\text{B}$ ${\displaystyle \left(-2,-2\right)}$ ， 点 $\text{C}$ ${\displaystyle \left(4,-1\right)}$ ， 点 $\text{D}$ ${\displaystyle \left(5,6\right)}$ を頂点とする四角形の重心の座標を求めよ．

■答

${\displaystyle \left(\frac{81}{85},\frac{129}{85}\right)}$

■ヒント

三角形 $\text{ABC}$ において，点 $\text{A}$ の位置ベクトルを ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ，点 $\text{B}$ の位置ベクトルを ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ ，点 $\text{C}$ の位置ベクトルを ${\displaystyle \overrightarrow{c}}$ とすると，重心の位置ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{g}}$ は

${\displaystyle \overrightarrow{g}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)}$ ･･････(1)

が成り立つ．

■解説

線分 $\text{BD}$ を引き四角形を2つの三角形に分けて，それぞれの重心を求める．

△ $\text{ABD}$ の重心 ${\text{G}}_1$ の位置ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{g_1}}$ は

${\displaystyle \overrightarrow{g_1}=}$ ${\displaystyle \frac{1}{3}\left\{\left(-4,2\right)+\left(-2,-2\right)+\left(5,6\right)\right\}}$ ${\displaystyle =\left(-\frac{1}{3},2\right)}$ ･･････(2)

となる．

△ $\text{BCD}$ の重心 ${\text{G}}_2$ の位置ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{g_2}}$ は

${\displaystyle \overrightarrow{g_2}=}$ ${\displaystyle \frac{1}{3}\left\{\left(-2,-2\right)+\left(4,-1\right)+\left(5,6\right)\right\}}$ ${\displaystyle =\left(\frac{7}{3},1\right)}$ ･･････(3)

となる．

よって，四角形 $\text{ABCD}$ の重心 $\text{G}$ は，2点 ${\displaystyle \left(-\frac{1}{3},2\right)}$ ， ${\displaystyle \left(\frac{7}{3},1\right)}$ を通る直線 ${\displaystyle l_1}$ 上にある．この直線上の点の位置ベクトルを ${\displaystyle \overrightarrow{p}}$ とすると，直線のベクトル方程式は

${\displaystyle \overrightarrow{p}=\left(1-t\right)\overrightarrow{g_1}+t\overrightarrow{g_2}}$ ･･････(4)

となる．

次は，線分 $\text{AC}$ を引き四角形を2つの三角形に分けて，それぞれの重心を求める．

△ $\text{ACD}$ の重心 ${\text{G}}_3$ の位置ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{g_3}}$ は

${\displaystyle \overrightarrow{g_3}=}$ ${\displaystyle =\frac{1}{3}\left\{\left(-4,2\right)+\left(4,-1\right)+\left(5,6\right)\right\}}$ ${\displaystyle =\left(\frac{5}{3},\frac{7}{3}\right)}$ ･･････(5)

となる．

△ $\text{ABC}$ の重心 ${\text{G}}_4$ の位置ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{g_4}}$ は

${\displaystyle \overrightarrow{g_4}=}$ ${\displaystyle =\frac{1}{3}\left\{\left(-4,2\right)+\left(-2,-2\right)+\left(4,-1\right)\right\}}$ ${\displaystyle =\left(-\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right)}$ ･･････(6)

となる．

よって，四角形 $\text{ABCD}$ の重心 $\text{G}$ は，2点 ${\displaystyle \left(\frac{5}{3},\frac{7}{3}\right)}$ ， ${\displaystyle \left(-\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right)}$ を通る直線 ${\displaystyle l_2}$ 上にある．この直線上の点の位置ベクトルを ${\displaystyle \overrightarrow{q}}$ とすると，直線のベクトル方程式は

${\displaystyle \overrightarrow{q}=\left(1-s\right)\overrightarrow{g_3}+s\overrightarrow{g_4}}$ ･･････(7)

となる．

四角形 $\text{ABCD}$ の重心 $\text{G}$ は直線 ${\displaystyle l_1}$ と直線 ${\displaystyle l_2}$ の交点になる．交点を求める．(4)と(7)より交点においては

${\displaystyle \overrightarrow{p}=\overrightarrow{q}}$

すなわち

${\displaystyle \left(1-t\right)\overrightarrow{g_1}+t\overrightarrow{g_2}}$ ${\displaystyle =\left(1-s\right)\overrightarrow{g_3}+s\overrightarrow{g_4}}$ ･･････(8)

となる．

(8)に(2)，(3)，(5)，(6)を代入する．

${\displaystyle \left(1-t\right)\left(-\frac{1}{3},2\right)+t\left(\frac{7}{3},1\right)}$ ${\displaystyle =\left(1-s\right)\left(\frac{5}{3},\frac{7}{3}\right)+s\left(-\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right)}$

${\displaystyle \left(\frac{8}{3}t-\frac{1}{3},-t+2\right)}$ ${\displaystyle =\left(-\frac{7}{3}s+\frac{5}{3},-\frac{8}{3}s+\frac{7}{3}\right)}$

$x$ 成分同士， $y$ 成分同士が等しいことより以下の連立方程式が得られる．

${\displaystyle \left\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{8}{3}t-\frac{1}{3}=-\frac{7}{3}s+\frac{5}{3}}\\ {\displaystyle -t+2=-\frac{8}{3}s+\frac{7}{3}}\end{array}\right.}$

${\displaystyle \left\{\begin{array}{l}8t+7s=6\cdots \cdots (9)\\ -3t+8s=1\cdots \cdots (10)\end{array}\right.}$

(10)より

${\displaystyle s=\frac{3}{8}t+\frac{1}{8}}$ ･･････(11)

(11)を(9)に代入する．

${\displaystyle 8t+7\left(\frac{3}{8}t+\frac{1}{8}\right)=6}$

${\displaystyle \frac{85}{8}t=\frac{41}{8}}$

${\displaystyle t=\frac{41}{85}}$ ･･････(12)

(12)を(10)に代入する．

${\displaystyle -3\cdot \frac{41}{85}+8s=1}$

${\displaystyle 8s=\frac{208}{85}}$

${\displaystyle s=\frac{26}{85}}$ ･･････(13)

(4)に(12)，(2)，(3)を代入する．

以上より，重心の座標 $\text{G}$ は

${\displaystyle \left(\frac{81}{85},\frac{129}{85}\right)}$

となる．

　

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最終更新日： 2025年11月4日