ベクトルの計算問題

■問題

座標平面において，点 $\text{Q}$ と点 $\text{R}$ があり， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OQ}}=}$ ${\displaystyle \overrightarrow{q}=\left(-1,4\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OR}}=}$ ${\displaystyle \overrightarrow{r}=\left(2,-1\right)}$ とする．以下に示す条件を満たす点 ${\displaystyle \text{P}\left(\overrightarrow{p}\right)}$ の範囲を求めよ．ただし，${\displaystyle \overrightarrow{p}=\overrightarrow{\text{OP}}}$ とする．

${\displaystyle \overrightarrow{p}=s\overrightarrow{q}+t\overrightarrow{r}}$ ， ${\displaystyle s+t=\frac{1}{2}}$ ， ${\displaystyle s\geqq 0}$ ， ${\displaystyle t\geqq 0}$

■答

点 ${\displaystyle \text{P}\left(\overrightarrow{p}\right)}$ は，点 ${\displaystyle \left(-\frac{1}{2},2\right)}$ と点 ${\displaystyle \left(1,-\frac{1}{2}\right)}$ を結ぶ線分上にある．

■ヒント

点が線分上にあるための条件を参考する．

■解説

${\displaystyle \overrightarrow{p}=s\overrightarrow{q}+t\overrightarrow{r}}$ ･･････(1)

${\displaystyle s+t=\frac{1}{2}}$ ･･････(２)

とおく

(２)より

${\displaystyle s=\frac{1}{2}-t}$ ･･････(3)

(3)を(1)に代入すると

${\displaystyle \overrightarrow{p}=\left(\frac{1}{2}-t\right)\overrightarrow{q}+t\overrightarrow{r}}$ ･･････(4)

となる．(4)を以下のように式変形する．

${\displaystyle \overrightarrow{p}=\frac{1}{2}\overrightarrow{q}-t\overrightarrow{q}+t\overrightarrow{r}}$

${\displaystyle \overrightarrow{p}=\frac{1}{2}\overrightarrow{q}+t\left(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{q}\right)}$ ･･････(5)

(5)は点 ${\displaystyle \text{A}\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{q}\right)}$ を通り，方向ベクトルが ${\displaystyle \overrightarrow{r}-\overrightarrow{q}}$ を通る直線のベクトル方程式である．

${\displaystyle \frac{1}{2}\overrightarrow{q}=\frac{1}{2}\left(-1,4\right)}$ ${\displaystyle =\left(-\frac{1}{2},2\right)}$

${\displaystyle \overrightarrow{r}-\overrightarrow{q}=\left(2,-1\right)-\left(-1,4\right)}$ ${\displaystyle =\left(3,-5\right)}$

より，(5) は，点 ${\displaystyle \left(-\frac{1}{2},2\right)}$ を通り，方向ベクトルが ${\displaystyle \left(3,-5\right)}$ の直線を表す式である．

直線の方程式を求める．方向ベクトルより，直線の傾きは ${\displaystyle -\frac{5}{3}}$ となる．よって，直線の方程式は

${\displaystyle y-2=-\frac{5}{3}\left(x+\frac{1}{2}\right)}$

${\displaystyle y=-\frac{5}{3}x+\frac{7}{6}}$

となる．

(5)と$t$の範囲から点${\displaystyle \text{P}\left(\overrightarrow{p}\right)}$が存在する直線の範囲を求める．

(3)と ${\displaystyle s\geqq 0}$ ， ${\displaystyle t\geqq 0}$ より

${\displaystyle 0\leqq t\leqq \frac{1}{2}}$

となる．

◇ ${\displaystyle t=0}$ のとき

${\displaystyle \overrightarrow{p}=\frac{1}{2}\overrightarrow{q}=\frac{1}{2}\left(-1,4\right)}$ ${\displaystyle =\left(-\frac{1}{2},2\right)}$

${\displaystyle t=\frac{1}{2}}$ のとき

${\displaystyle \overrightarrow{p}=\frac{1}{2}\overrightarrow{q}+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{q}\right)}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2}\overrightarrow{r}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(2,-1\right)}$ ${\displaystyle =\left(1,-\frac{1}{2}\right)}$

以上より，点 ${\displaystyle \text{P}\left(\overrightarrow{p}\right)}$ は，点 ${\displaystyle \left(-\frac{1}{2},2\right)}$ と点 ${\displaystyle \left(1,-\frac{1}{2}\right)}$ を結ぶ線分上にある．

　

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最終更新日： 2025年11月14日