ベクトルに関する問題

■問題

三角形 $ABC$ の辺 $BC$ の中点を $M$ とすると

${AB}^{2} + {AC}^{2} = 2 ({AM}^{2} + {BM}^{2})$

が成り立つ(中線定理)ことを，ベクトルを用いて証明せよ．

以下の関係を参考にするとよい．

${AB}^{2} = {|\vec{AB}|}^{2} = \vec{AB} \cdot \vec{AB}$

${AM}^{2} = {|\vec{AM}|}^{2}$

$= \vec{AM} \cdot \vec{AM}$

点

$M$ は辺

$BC$ の中点であることより，辺

$BC$ を

$1 : 1$ に内分する．よって

$\vec{AM} = \frac{1}{2} (\vec{AB} + \vec{AC})$

$= \frac{1}{2} (\vec{AB} + \vec{AC}) \cdot \frac{1}{2} (\vec{AB} + \vec{AC})$

$= \frac{1}{4} (\vec{AB} + \vec{AC}) \cdot (\vec{AB} + \vec{AC})$

$= \frac{1}{4} \{(\vec{AB} + \vec{AC}) \cdot \vec{AB} + (\vec{AB} + \vec{AC}) \cdot \vec{AC}\}$

$= \frac{1}{4} (\vec{AB} \cdot \vec{AB} + \vec{AC} \cdot \vec{AB} + \vec{AB} \cdot \vec{AC} + \vec{AC} \cdot \vec{AC})$

$= \frac{1}{4} \{{|\vec{AB}|}^{2} + 2 (\vec{AC} \cdot \vec{AB}) + {|\vec{AC}|}^{2}\}$

$= \frac{1}{4} \{{AB}^{2} + 2 (\vec{AC} \cdot \vec{AB}) + {AC}^{2}\}$ 　･･････(1)

${BM}^{2} = {|\vec{BM}|}^{2}$

$\vec{BM} = \vec{BA} + \vec{AM}$

$= - \vec{AB} + \frac{1}{2} (\vec{AB} + \vec{AC})$

$= \frac{1}{2} (\vec{AC} - \vec{AB})$

$= \frac{1}{2} (\vec{AC} - \vec{AB}) \cdot \frac{1}{2} (\vec{AC} - \vec{AB})$

$= \frac{1}{4} (\vec{AC} - \vec{AB}) \cdot (\vec{AC} - \vec{AB})$

$= \frac{1}{4} \{(\vec{AC} - \vec{AB}) \cdot \vec{AC} - (\vec{AC} - \vec{AB}) \cdot \vec{AB}\}$

$= \frac{1}{4} (\vec{AC} \cdot \vec{AC} - \vec{AB} \cdot \vec{AC} - \vec{AC} \cdot \vec{AB} + \vec{AC} \cdot \vec{AB})$

$= \frac{1}{4} \{{|\vec{AC}|}^{2} - 2 (\vec{AC} \cdot \vec{AB}) + {|\vec{AB}|}^{2}\}$

$= \frac{1}{4} \{{AC}^{2} - 2 (\vec{AC} \cdot \vec{AB}) + {AB}^{2}\}$ 　･･････(2)

(1)，(2)より

${AM}^{2} + {BM}^{2}$

$= \frac{1}{4} \{{AB}^{2} + 2 (\vec{AC} \cdot \vec{AB}) + {AC}^{2}\}$ $+ \frac{1}{4} \{{AC}^{2} - 2 (\vec{AC} \cdot \vec{AB}) + {AB}^{2}\}$

$= \frac{1}{2} ({AB}^{2} + {AC}^{2})$

したがって

${AB}^{2} + {AC}^{2} = 2 ({AM}^{2} + {BM}^{2})$

が得られる．

最終更新日： 2024年12月3日