平面の方程式の問題

■問題

空間座標上の点${\displaystyle \text{A}\left(4,3,2\right)}$ を通り，${\displaystyle \overrightarrow{n}=\left(2,4,5\right)}$ に垂直な平面の方程式を求めよ．

■答

${\displaystyle 2x+4y+5z=30}$

■ヒント

点${\displaystyle \text{A}}$ を通り，${\displaystyle \overrightarrow{n}}$ に垂直な平面上の任意の点を${\displaystyle \text{P}}$ としその座標を${\displaystyle \left(x,y,z\right)}$とする．

${\displaystyle \overrightarrow{n}}$ は平面の法線ベクトルなので，${\displaystyle \overrightarrow{n}=\left(2,4,5\right)}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AP}}=\left(x-4,y-3,z-2\right)}$ のなす角は90°となり，

内積は0となる．

よって

${\displaystyle \overrightarrow{n}·\overrightarrow{\text{AP}}=0}$      (法線ベクトルを参照)

を用いる．

■解説

${\displaystyle $ {\displaystyle \overrightarrow{n}·\overrightarrow{\text{AP}}=0}$}$      （点 ${\displaystyle \text{P}}$ の座標を ${\displaystyle \left(x,y,z\right)}$ とする ）

${\displaystyle \left(2,4,5\right)·\left(x-4,y-3,z-2\right)=0}$

${\displaystyle 2\left(x-4\right)+4\left(y-3\right)+5\left(z-2\right)=0}$

${\displaystyle 2x-8+4y-12+5z-10=0}$

${\displaystyle 2x+4y+5z=30}$

　

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学生スタッフ
最終更新日： 2023年2月14日