平面の方程式の問題

■問題

空間座標上の点 $A (4, 3, 2)$ $A (4, 3, 2)$ を通り， $\vec{n} = (2, 4, 5)$ $\vec{n} = (2, 4, 5)$ に垂直な平面の方程式を求めよ．

$2 x + 4 y + 5 z = 30$ $2 x + 4 y + 5 z = 30$

点 $A$ $A$ を通り， $\vec{n}$ $\vec{n}$ に垂直な平面上の任意の点を $P$ $P$ としその座標を $(x, y, z)$ $(x, y, z)$ とする．

\vec{n}

$\vec{n}$ は平面の法線ベクトルなので，

\vec{n} = (2, 4, 5)

$\vec{n} = (2, 4, 5)$ と

\vec{AP} = (x - 4, y - 3, z - 2)

$\vec{AP} = (x - 4, y - 3, z - 2)$ のなす角は90°となり，

内積は0となる．

よって

$\vec{n} \cdot \vec{AP} = 0$ $\vec{n} \cdot \vec{AP} = 0$ (法線ベクトルを参照)

を用いる．

$\vec{n} \cdot \vec{AP} = 0$ $\vec{n} \cdot \vec{AP} = 0$ （点 $P$ $P$ の座標を $(x, y, z)$ $(x, y, z)$ とする）

$(2, 4, 5) \cdot (x - 4, y - 3, z - 2) = 0$ $(2, 4, 5) \cdot (x - 4, y - 3, z - 2) = 0$

$2 (x - 4) + 4 (y - 3) + 5 (z - 2) = 0$ $2 (x - 4) + 4 (y - 3) + 5 (z - 2) = 0$

$2 x - 8 + 4 y - 12 + 5 z - 10 = 0$ $2 x - 8 + 4 y - 12 + 5 z - 10 = 0$

$2 x + 4 y + 5 z = 30$ $2 x + 4 y + 5 z = 30$

学生スタッフ
最終更新日： 2025年2月21日