平面の方程式の問題

■問題

空間座標上の点${\displaystyle \text{A}\left(2,3,-4\right)}$ を通り，${\displaystyle z}$ 軸 に垂直な平面の方程式を求めよ．

■答

${\displaystyle z=-4}$

■ヒント

${\displaystyle z}$ 軸のベクトルを${\displaystyle \overrightarrow{n}=\left(0,0,1\right)}$ と表す． 

点${\displaystyle \text{A}}$ を通り，${\displaystyle \overrightarrow{n}}$ に垂直な平面上の点を${\displaystyle \text{P}}$とする．

${\displaystyle \overrightarrow{n}}$ は平面の法線ベクトルなので，${\displaystyle \overrightarrow{n}}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AP}}}$ のなす角は90°となり，

内積は0となる．

よって

${\displaystyle \overrightarrow{n}·\overrightarrow{\text{AP}}=0}$   (法線ベクトルを参照)

を用いる．

■解説

${\displaystyle \overrightarrow{n}·\overrightarrow{\text{AP}}=0}$   （点 ${\displaystyle \text{P}}$ の座標を ${\displaystyle \left(x,y,z\right)}$ とする）

${\displaystyle \left(0,0,1\right)\cdot \left(x-2,y-3,z+4\right)=0}$

${\displaystyle z+4=0}$

${\displaystyle z=-4}$

よって，求める平面の方程式は

${\displaystyle z=-4}$

である．

　

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学生スタッフ
最終更新日： 2023年2月15日